1992考研数三真题及解析 参考

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1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设商品的需求函数为,其中分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.(2)级数的收敛域为_________.(3)交换积分次序_________.(4)设为阶方阵,为阶方阵,且,则________.(5)将等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为__________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

2、符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设,其中为连续函数,则等于()(A)(B)(C)0(D)不存在(2)当时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?()(A)(B)(C)(D)(3)设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分条件是()(A)的列向量线性无关(B)的列向量线性相关(C)的行向量线性无关(D)的行向量线性相关(4)设当事件与同时发生时,事件必发生,则()(A)(B)(C)(D)(5)设个随机变量独立同分布,17,则()(A)是的无偏估计量(B)是的最大似然估计量(C)是的相合估计量(即一致估计量)(D)与相互独

3、立三、(本题满分5分)设函数问函数在处是否连续?若不连续,修改函数在处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算五、(本题满分5分)设,求,其中有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数,使它满足.七、(本题满分6分)求证:当时,.八、(本题满分9分)设曲线方程.(1)把曲线,轴,轴和直线所围成平面图形绕轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积;求满足的.(2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)17设矩阵与相似,其中.(1)求和的值.(2)求可逆矩阵,使得.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵,且

4、的每一个列向量都是以下方程组的解:(1)求的值;(2)证明.十一、(本题满分6分)设分别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).[附表]1234567…0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001…十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部

5、件数,试求的数学期望和方差.十四、(本题满分4分)设二维随机变量的概率密度为17(1)求随机变量的密度;(2)求概率.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】根据,得价格,又由得,按照经济学需求弹性的定义,有,令,解得.所以商品价格的取值范围是.(2)【答案】【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.首先当即时级数收敛.17当时,后项比前项取绝对值求极限有当,即当或时级数绝对收敛.又当和时得正项级数,由级数：当时收敛；当时发散.所以正项级数是发散的

6、.综合可得级数的收敛域是.注：本题也可作换元后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数的收敛性.【相关知识点】收敛半径的求法：如果,其中是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径(3)【答案】【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域：,即中最低点的纵坐标,最高点的纵坐标,的左边界的方程是,即的右支,的右边界的方程是即的右半圆,17从而画出的图形如图中的阴影部分,从图形可见,且所以(4)【答案】【解析】由拉普拉斯展开式,.【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设是阶矩阵,是阶矩阵,则.(5)【答案

7、】【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.设所求概率为,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为,而有利于事件的样本点数为,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1:为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以可应用洛必达法则..故应选(B).方法2:特殊值法.取,则.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：17若,,均一阶

8、可导,则.(2)【答案】(D)【解析】由于时,,故是