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《1992考研数一真题及解析 学习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)设函数由方程确定,则____________.(2)函数在点处的梯度____________.(3)设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于____________.(4)微分方程的通解为____________.(5)设,其中则矩阵的秩____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时
2、,函数的极限()(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2)级数(常数)()(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(3)在曲线的所有切线中,与平面平行的切线()(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设,则使存在的最高阶数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为()16(A)(B)(C)(D)三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)求.(2)设,其中具有二阶连续偏导数,求.(3)设求.四、(本题满分6分.)求微分方程的通解.五、
3、(本题满分8分)计算曲面积分,其中为上半球面的上侧.六、(本题满分7分)设,,证明对任何,有.七、(本题满分8分)在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点,问当取何值时,力所做的功最大?并求出的最大值.八、(本题满分7分)设向量组线性相关,向量组线性无关,问：16(1)能否由线性表出？证明你的结论.(2)能否由线性表出？证明你的结论.九、(本题满分7分)设3阶矩阵的特征值为,对应的特征向量依次为,又向量,(1)将用线性表出.(2)求(为自然数).十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)已知,,,则事件、、全不
4、发生的概率为___________.(2)设随机变量服从参数为1的指数分布,则数学期望___________.十一、(本题满分6分)设随机变量与独立,服从正态分布,服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中).1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)16(1)【答案】【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对求导,将看做的函数,得.解出,即.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,
5、则复合函数在点可导,且其导数为或.2.两函数乘积的求导公式：.(2)【答案】【解析】对函数求各个分量的偏导数,有；；.由函数的梯度(向量)的定义,有,所以.【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(3)【答案】【解析】是区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在处收敛于16.【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数在区间上满足：(i)连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ)只有有限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且(4)【答案】为任意常数【解析】这是标准形
6、式的一阶线性非齐次方程,由于,方程两边同乘,得.故通解为为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第行与第行的比为),所以中的二阶子式全为0,又因,知道,中有一阶子式非零.故.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在阶子式不为零,而所有的阶子式全为零时,则此矩阵的秩为.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点的极限是否存在需要判定左极限和右极限16是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的.,,,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D).(2)【
7、答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小,,又因为级数：当时收敛；当时发散.所以有收敛.收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数,确定无穷小关于的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的值.求曲线上的点,使该点处的切向量与平面的法向量垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量,,即,解得.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B
8、).(4)【答案】(C)【解析】因处处任意阶可导,只需考查,它是分段函数,是连接点.所以,写成分段函数的形式,有16对分段函数在对应区间上求微分,再考查在连接点处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.,,即同理可得,即
