（刘国营）函数单调性教学案例分析.doc

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1、《函数的单调性》教学案例及分析深圳市龙华中学刘国营教学过程：　　一、创设问题情境　　提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。　　提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值和最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x

2、（4≤x≤10）的图像可以得出结论。　　多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。　　　　设计说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。二、学生活动，建构数学　　1.几何画板演示，点明课题。　　多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的

3、变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。　　　　2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。　　一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f(x2)那么就说函数f(x)在这个区间I上是单调增函数（increasingfuction）。区间I称为函数f(x)的单调增区间(increasinginterval)。　如果对于区间I内的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f（x1）﹤f(x2)那么就说函数f(x)在这个区间I上是单调减函数（decr

4、easingfuction）。区间I称为函数f(x)的单调减区间(decreasinginterval)　　设计说明：在减函数定义的教学过程中，让学生通过对增函数定义的理解通过类比得出减函数的定义从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。请同学们指出单调性定义中的关键词,通过关键词理解概念，培养同学们的自学能力和学习习惯。三、运用数学：先,通过两个例题加深对单调性的理解和认识.例1（教材P34例1）画出下列函数图象，并写出函数的单调区间：（1）y=-x2+2(2)y=例1引申：函y=1/

5、x在整个定义域上是否为单调函数？学生活动得出结论：函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的．巩固练习：课本P37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例2证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。　　引申：探索一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间(－∞，＋∞)上的单调性。（采用几何画板展示函数图象，可以很清楚发现一次函数单调性与K的关系。）例3判断函数f(x)＝x2－2x的单调区间，并加以证明。　　设计

6、说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)＝x2－2x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在[1，＋∞]上的证明；第三、四组的学生完成函数在(－∞，1)上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。　　判断函数单调性的基本步骤：　　第一步，设x1、x2是区间内的任意两个实数，且x1＜x2。（简称：假设）　　第二步，比较f(x1)、f(x2)的大小。（比较）　　第三步

7、，给出结论。（结论）首尾呼应：自主解决——开头提出的问题：　　设计说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数y＝x＋16/x在区间[4，10]上是增函数；得出结论，当x=10时，ymax=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k∈Ｒ)的单调性。　　多媒体：利用几何画板进行探索、总结y=x+k/x(k∈Ｒ

8、)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。　　　　四、学生总结、教师归纳　　教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的