不等式的证明（四）.doc

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1、第六章　不等式第九课时§6.3.4　不等式的证明（四）教学目标（一）教学知识点分析法证明不等式.（二）能力训练要求1．理解分析法证明不等式的原理和思路.2．理解分析法的实质——执果索因，熟练掌握分析法证明不等式.（三）德育渗透目标分析法证明不等式意在提高学生的数学素质，培养学生的创新意识，加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力，进一步使学生认识到事物间是有联系的，增强瓣证唯物主义观念.教学重点分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可

2、以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又……只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真.简写为：BB1B2…BnA.教学难点1．理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.2．正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等.教学方法指导自学法.即通过教师必要的引导，学生自己动手、动脑获取知识，并指导学生总结、归纳、分析证明不等式的方法思路，使学生在转化“矛盾

3、”中，增强化归、转化意识，树立化归、转化思想，提高化归、转化能力.“执果索因”，去探索证明不等式的途径.教具准备幻灯片一张记作§6.3.4　A用分析法证明不等式：（1）设x，y∈R，且x2－2xy＋2y2＝2，求证：

4、x＋y

5、≤.（2）设a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，试证：

6、ax＋by

7、≤1.（3）a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：.教学过程Ⅰ．课题导入［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入，我们还会遇到这样的问题：面对一个不等式的证明而一筹莫展，无计可施，由题设不易“切入”展开推理.在此情况下，我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析，往

8、往在“倒推”的过程中，逐渐发现解题思路，从而达到证明不等式的目的.今天，我们根据这种基本思路，继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法.Ⅱ．讲授新课（简述：“分析法”证明不等式的基本思想）［师］证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件.把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法.（关于“分析法”证明不等式.其基本模式在后面“备课资料”中有较详细的说明）下面，我们探索分析用“分析法”证明不等式.［例1］求证：［师］显然，目标不等式中

9、含有根式，我们尝试先平方、合并，后对其进行化简，逐步寻求不等式成立的充分条件，以达证题目的.（在教师指导下，请同学们书写证明过程）［生］∵和均为正数，∴为了证明只需证明展开得：即∴∴21＜25.∵21＜25成立，∴成立.即［师生共析］证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.例如，在本例中，我们很难想到从“21＜25”入手.因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置.我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.［例2］证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.［学生讨论］设周长为L，则周长为L的圆的半

10、径为，面积为；周长为L的正方形边长为，面积为.所以本题只需证明.［生］证明：设周长为L，依题意，圆的面积为，正方形的面积为.所以，本题只需证明，为了证明上式成立，只需证明.两边同乘以正数，得.因此，只需证明4＞，显然，上式“4＞”是成立的.故.这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大.［师生共议］同学们，我们想一想，本题是否可以用比较法证明呢？（通过师生共议，在教师启发诱导下，让学生尝试写出证明过程.）［生］证明：设周长为L，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，则－＝＝∵，∴L2＞0，4－＞0，∴即.故证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积

11、大.［师生点评］本题中比较与的大小，除了用分析法、比较法确定大小外，还可用作商法.这是因为，＞0，＞0，所以故.（打出幻灯片§6.3.4　A，让学生分三组，在教师指导下进行练习，目的在于激活学生思维，提高学生分析问题，解决问题，灵活应变的能力）［师］请甲组同学做（1）题，乙组同学做（2）题，丙组同学做（3）题.（学生板书证明过程）.（1）设x，y∈R，且x2－2xy＋2y2＝2，求证：｜x＋y｜≤.［生甲］证明：

12、x＋y

13、≤(x＋y)2≤10　(x＋y)2－5(x2－2xy＋2y2)≤0　－（2x－3y）2≤0这显然成立.故

14、x＋y

15、≤.（2）设a，b，x，y∈R

16、，且a2＋