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时间:2020-04-14
《初中数学复习 探究抛物线的隐含性质(于涵定理).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、探索“抛物线”的几何性质(于涵定理)一、以小见大,培育探究精神1.如图,抛物线与轴交于点(,),(,),与轴交于点(,),则该抛物线的解析式为.2.解题后探究:(1)猜想:上题中,,,,存在某种关系,该关系可以表示为:,.(2)论证:若抛物线与轴交于点(,),(,),与轴交于点(,),求证:.3.简单应用:(1)抛物线与轴交于点(,),(,),与轴交于点(,),则该抛物线的解析式为;(2)抛物线与轴交于点(,),(,),与轴交于点,且,则该抛物线的解析式为.二、进一步探究(特殊→一般):1.如图,抛物线与轴交于点,,
2、与轴交于点,点在,之间的抛物线上运动.(1)的横坐标为时,比较大小:;(2)的横坐标为时,比较大小:;(3)当时,.(呢?)2.如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,∥轴交抛物线于另一点,轴于点,为上方的抛物线上任意一点,于点.(1)比较大小:;(2)比较大小:;(3)当时,.3.如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,为上方的抛物线上一点,∥轴,于点,分别交轴,于点,.请通过特殊点进行探究,并选出一个正确的式子()A.B.C.D.4.如图,(,),(,),(,)均在抛物线上,在,且∥轴,过点,分别作,.请完成以下探究
3、过程:(1)请选取字母,,,表示下列各边长:①;②;③;④;(2)由∽可得,,化简得:;(3);5.归纳总结:三、小试牛刀:1.(2006·河南压轴题改编)如图,是二次函数的图象,过点(,)的直线交抛物线于点,,过点,分别作轴的垂线,垂足分别为,.则当点在抛物线上运动时(点不与原点重合),请探究的值.(1)当点横坐标为时,则的值为;(2)随着点位置的变化,是否定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.2.如图,点在二次函数图象的第三象限部分运动,直线∥轴,且交抛物线于点,将直线绕点逆时针旋转交抛物线于点,
4、交于点,于点.(1)当点横坐标为时,则;(2)随着点横坐标由大变小,的长度()A.由大变小B.由小变大C.不变D.先变大后变小(3)若将题中条件“旋转”改为“旋转”,但保证与抛物线有交点,则(用“”表示).3.如图,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,为上方的抛物线上一点,∥轴交于点,设点横坐标为.探究:当为何值时,长度取得最大值?四、探究抛物线的“内接直角三角形”:1.如图,将直角三角板的直角顶点置于原点,两直角边与抛物线交于,两点.(1)如图1,当时,也有,则;(2)对于同一抛物线,将三角板绕点旋转(如图2),分别作
5、轴,轴,与轴交于点,且测得.①;②点的坐标为;(3)探究:在上题中,改变三角板位置(设),点的坐标是否发生变化?(4)猜想点的坐标与的关系.2.如图,(,),(,),(,)均在抛物线上,且是以为直角顶点的直角三角形.(1)通过图1的探究,我们猜想:斜边定点(填“经过”或“不经过”);(2)如图2,通过构造“一线三等角”进行探究:①由∽可得,,选取字母,,,表示该比例式:,化简得;②由于涵定理可得(选取字母,,,表示):;;(3)综合(1)、(2)的探究结果,发现与中,的长度是定值,因此斜边(填“经过”或“不经过”)定
6、点(填“”或“”),且该定点的坐标可用,表示为.3.反思:上述探究的意义何在?五、秒杀难题1.(2014·武汉压轴题改编)如图,已知直线:与抛物线交于,两点.(1)直线总经过一个定点,点的坐标为;(2)若抛物线上存在定点,使,求点到直线的最大距离.2.如图,抛物线交轴于点,,,且射线与抛物线交于点,点在抛物线上运动.(1)若点在第三象限运动,求面积的最大值;(2)当时.①过点作轴的平行线,交抛物线于点,则的面积为;②求点的坐标.3.(2016·武汉压轴题改编)如图抛物线交轴于点,,顶点为,点为抛物线上一动点,且位于轴
7、下方.(1)若点(,),(,)时,求该抛物线解析式;(2)若直线,,分别交轴于点,,试探究是否定值?若是,请用表示;若不是,请说明理由.4.如图,抛物线交轴于点,顶点为,轴于点,为对称轴右侧,第一象限内的抛物线上一动点,连接交抛物线于点.(1)求点的坐标;(2)求证:为定值;(3)直线,分别交轴于点,,试探究是否定值?若是,请用表示;若不是,请说明理由.5.如图,已知抛物线过点(,).(1)求抛物线的解析式;(2)为点左侧抛物线上一动点,直线交直线于点,过点作轴平行线交抛物线于点,连接,求证:恒过定点;(3)在(2)
8、的条件下,当运动时.①求到直线的距离的最大值;②求面积的最小值.六、反思:1.留有遗憾:虽然已经解决了为直角三角形时,直角顶点的坐标问题;但是为等腰三角形时的问题,仍然未能解决!希望和各位老师共同探讨……2.李书福曾经说过,造汽车无非就是“四个轮子上面安装两张沙发”.其实于涵定理的应用,套用一下李书福的话,就是“一条抛物线上三个点”,只要满足这
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