浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷解答

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1、浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷解答得分一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设，其中，，，互不相等，且，则的值等于（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解：（D）.，选（D）2.曲线，当时，它有斜渐进线（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解：（C）.若直线是曲线的斜渐进线，则，当时，===，选（C）3.下面的四个论述中正确的是（）.（A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；-43-（B）.函数在区间内可导，，那末是在处取到极值的充分条件；（C）.“函数

2、在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要；（D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.解：（A）.（B）应为必要条件（C）一元函数可导与可微等价（D）应为充分条件，选（A）4.下面四个论述中正确的是（）.（A）.若，且单调递减，设，则；（B）.若，且极限存在，设，则；（C）.若，则；（D）.若，则存在正整数，当时，都有.解：（D）.（A）（B）中，（C）存在，当时，，选（D）得分二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1.=____________；=____________.解：或；.，2.函数可导

3、，，则=____________.解：.-43-3.=____________.解：.令，则，4.=____________；=____________.解：；.======事实上：关于中心对称直接得答案为.得分三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列通项，求.解：，-43-2.求.解：原式=得分得分四、求导数：（每小题7分，共21分）1.，求.解：，2.求，.解：，3.函数由确定，求解：，，得分五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求.-43-解：，，，，原式==2.求.解：原式==3.求.解：原式=，令，==4.计算.解：记==

4、，得分六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：-43-解：方法1：，=（或）=，解得方法2：令，则，（或），（或）2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？解：建立坐标如示意图，，吨/米3（吨米）（=3.2）（米/秒2）得分七、（6分）在平面上将连结原点与点的线段（即区间）作等分，分点记作，对，过作抛物线的切线，切点为.1.设的面积为，求；2.求极限.解：1.设，，切线方程：，切线过，解得，.-43-2.===

5、=得分八、证明题（5分）设在上连续，且，.证明：对任意，且，必有.证：令，，，，下面方法1：据台劳公式（在之间）方法2：（在之间）若，则，若，则，也有浙江大学2002级微积分（上）期终考试试卷解答得分一、填空题：（每题4分，共12分）只填答案1.举出符合各题要求的一例，并将其填入空格内。（1）在点不连续，但当时极限存在的函数有____________；（2）属“”或“”未定型，且其极限存在，但极限不能用洛必达法则求得的极限有____________；（3）原函数不存在，但其原函数不能用初等函数表示的函数有____________;（4）有

6、界，但不可积的函数有____________；解：（1）等；（2）等；（3）或；（4）狄里克雷函数-43-2.已知抛物线过点，且在该点的曲率圆方程是：.则=____________，=____________，=____________,曲线在（1，2）处的曲率k＝____________.解：；；.过点得抛物线在的切向与过和两点的直线垂直得曲率半径由、、得（由于抛物线与曲率圆有相同凹向得抛物线开口向上，舍去）3.设.（1）=____________；（2）=____________；（3）=____________；解：；；.（1）＝＝

7、；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝-43-得分二、选择题：（每题3分，共12分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设，且在内二阶可导，又，，则在内的单调性和图形的凹向是（）.A.单调增，向下凹B.单调减，向下凹C.单调增，向上凹D.单调减，向上凹解：B.在单调增在向下凹由于关于轴对称在单调减，向下凹，选B.2.函数在点的以下结论正确的是（）A.若，则必是一极值；B.若，则点必是曲线的拐点；C.若极限存在（为正整数），则在点可导，且有；D.若在处可微，则在的某领域内有界。解：D.A不一定，例当时但此点是驻点不是

8、极值；B不一定，在点两侧需异号；C仅仅在子列上收敛是不够的，选D.3.设当时，，都是无穷小（），则当时，下列表达式中不一定为无穷小的是（）.A.；B.；C.；D..-43-解：A.无穷小量的积