2001级微积分(上)期终考试试卷及解答

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1、浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷解答系__________班级__________学号__________姓名__________考试教室__________题号一二三四五六七八总分复核得分评卷人得分一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设，其中，，，互不相等，且，则的值等于（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解：（D）.，选（D）2.曲线，当时，它有斜渐进线（）.（A）.（B）.（C）.（D）.解：（C）.若直线是曲线的斜渐进

2、线，则，当时，=-61-==，选（C）3.下面的四个论述中正确的是（）.（A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；（B）.函数在区间内可导，，那末是在处取到极值的充分条件；（C）.“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要；（D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.解：（A）.（B）应为必要条件（C）一元函数可导与可微等价（D）应为充分条件，选（A）4.下面四个论述中正确的是（）.（A）.若，且单调递减，设，则；（B）.若，且极限存在，设，则；（C）.若，则

3、；（D）.若，则存在正整数，当时，都有.解：（D）.（A）（B）中，（C）存在，当时，，选（D）得分二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1.=____________；=____________.解：或；.-61-，2.函数可导，，则=____________.解：.3.=____________.解：.令，则，4.=____________；=____________.解：；.======事实上：关于中心对称直接得答案为.-61-得分三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列通项，求.解：，2

4、.求.解：原式=得分得分四、求导数：（每小题7分，共21分）1.，求.解：，2.求，.解：，3.函数由确定，求-61-解：，，得分五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求.解：，，，，原式==2.求.解：原式==3.求.解：原式=，令，==4.计算.解：记-61-==，得分六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：解：方法1：，=（或）=，解得方法2：令，则，（或），（或）2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池

5、水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？解：建立坐标如示意图，，吨/米3（吨米）（=3.2）（米/秒2）得分七、（6分）在平面上将连结原点与点的线段（即区间）作-61-等分，分点记作，对，过作抛物线的切线，切点为.1.设的面积为，求；2.求极限.解：1.设，，切线方程：，切线过，解得，.2.====得分八、证明题（5分）设在上连续，且，.证明：对任意，且，必有.证：令，，，，下面方法1：据台劳公式（在之间）方法2：（在之间）若，则，若，则，也有-61-浙江大学2001级微积分（下）期终考试试卷解答系____

6、______班级__________学号__________姓名__________考试教室__________题号一二三四五六总分复核得分评卷人得分一、填空题：（每小题3分，共15分）只填答案1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面的方程是____________。解：.令所求平面方程为：由过原点得由过得由与垂直得综上得所求平面方程为2.设，可微，则=____________。解：.3.曲面在点的法线方程是____________。解：.-61-即4.函数关于的幂级数展开式是__________

7、__，且展开式的收敛区间为____________。解：.==，收敛半径，收敛区间是5.设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于____________。解：.由定理知应收敛于==-61-得分二、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设直线，设平面，则直线（）（A）平行于（B）在上（C）垂直于（D）与斜交解：（C）.由平面与平面相交而成与垂直与垂直与、的交线垂直，选（C）2.考虑二元函数的下面4条性质：在点处连续；在点处的两个偏导

8、数连续；在点处可微；在点处的两个偏导数存在，若用“”表示可由性质推出性质，则有（）（A）（B）（C）（D）解：（A）.可微必定可导，但导数不一定连续可微必定连续两个偏导数存在且偏导数连续则可微两个偏导数存在且偏导数有界则连续，选（A）3.已知：为某函数的全微分，则等于（）（A）（B）（C）（D）解：（D）.，-61-4.设为常数，则级数（）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与有关解：（C）.当时，而发散本题中级