资源描述：
《由分片光滑的双侧封闭曲面所围成. 若函数在上连续, 且有》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七节Gauss公式与Stokes公式一Gauss公式Green公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系.类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系.下面的Gauss公式建立了这种关系.定理13.3(Gauss公式)设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成.若函数在上连续,且有一阶连续偏导数,则或其中是整个边界曲面的外侧,是上点处的法向量的方向余弦.证明设闭曲面在面上的投影区域为.由三部分组成,,是以的边界曲线为准线而母线平行于z轴的驻面上的一部分，取外侧.根据三重积分的计算法可得图
2、13-19根据曲面积分的计算法(取下侧,取上侧,取外侧)可得于是因此同理合并以上三式可得.由两类曲面积分之间的关系可知证毕.Gauss公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.若Gauss公式中,则有于是得到应用第二类曲面积分计算空间区域的体积公式的体积例13.21计算曲面积分,其中为柱面及平面,所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.解对应于Gauss公式,,,于是其中利用了柱面坐标变换.例13.22计算其中是一顶点在坐标原点、侧面平行坐标面位于第一卦限的边长为的正立方体表面并
3、取外侧.解应用Gauss公式可得例13.23设函数和在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数,证明,其中是闭区域的整个边界曲面,为函数沿的外法线方向的方向导数,符号,称为Laplace(拉普拉斯)算子.这个公式叫做Green第一公式.证明因为方向导数其中、、是在点处的外法线向量的方向余弦。于是曲面积分利用Gauss公式，即得,将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.二通量与散度下面来解释Gauss公式的物理意义.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为)的速度场由给出,其中假定具有一阶连续偏导数,是速度场中一片有向
4、曲面,又是在点处的单位法向量,由第13.5节可知,单位时间内流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示其中表示流体的速度向量在有向曲面的法向量上的投影.如果是Gauss公式中闭区域的边界曲面的外侧,那么Gauss公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量.另一方面假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此在流体离开的同时,内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，因此Gauss公式左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.由于是上的向量函数,对上每一点,定义数量函数
5、,称为向量函数在处的散度(divergence),且记作.把Gauss公式改写成.以闭区域的体积除上式两端可得在中任取一点,对上式中的三重积分应用中值定理,得,令缩到一点,取上式的极限,得.这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.可以看作稳定流体的不可压缩流体在点的源头强度,即在单位时间单位体积内所产生的流体质量.若,说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点,则称这一点为源.相反,若,说明流体在这一点被吸收,则称这点为汇.若在向量场中每一点皆有则称为无源场.例13.24求向量场的散度.解.例13.25设,是
6、两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,,依次表示,沿的外法线方向的方向导数.证明其中是空间闭区域的整个边界曲面.这个公式叫做Green第二公式.证明由第一Green公式(例13.23)知将上面两个式子相减,即得.例13.26利用Gauss公式推证阿基米德原理:浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上,其大小等于这物体所排开的液体的重力.证明取液面为面,轴沿铅直向下,设液体的密度为,在物体表面上取元素上一点,并设在点处的外法线的方向余弦为,则所受液体的压力在坐标轴上的分量分别为,利用G
7、auss公式计算所受的压力可得,,,其中为物体的体积.因此在液体中的物体所受液体的压力的合力,其方向铅直向下,大小等于这物体排开液体的所受的重力,即阿基米德原理得证.三Stokes(斯托克斯)公式右手规则:设是分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,当右手除拇指外的四指依的绕行方向时,拇指所指的方向与上法向量的指向相同.这时称是有向曲面的正向边界曲线.Stokes公式是Green公式的推广.Green公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系,而Stokes公式则把曲面上的
8、曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来.下面的公式就叙述这种关系.定理13.4设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数,,在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式上式叫做Stokes公式.证明设Σ与平行于轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在的投影.且所围区域.如右图.证
