浅议高等数学解题方法之“凑”-论文.pdf

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1、2013年第9期No.9.2013佳木斯教育学院学报总第131期Sum131浅议高等数学解题方法之“凑”吴代龙（马鞍山师范高等专科学校安徽马鞍山243002）摘要：用“凑”的方法解决数学问题，在中小学的数学学习中都有体现。在高等数学的解题方法中，“凑”同样是一种行之有效的解题手段，通过对题目的细致分析，结合相关理论知识，利用合理、恰当的“凑”，可以简化解题方法和过程，达到“事半功倍”的效果。关键词：凑微分；凑函数；凑矩阵中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1000-9795（2013）09-0176-02

2、凑，在百度词典上的基本字义是：聚合，接近，碰、赶、巧的性方程的方法求出原方程的通解。但是通过观察我们可以发现，方意思。似乎与数学解题的严谨性不相关，而事实上，面对不同类型程中含有凑微分常用的一项。因此，我们可以用如下解的数学试题，人们都试图寻找各类解题技巧，更提出“以不便应万法：将方程转化为微分形式，两边同除以，有变”的解题哲理，在众多的解题方法中，“凑”，是一种行之有效，这样方程的左边就可以凑成微分，从而得到的方法。当然，这里的“凑”，不是盲目的“碰”、“赶”，而是基于对相关理论知识的熟练掌握以及对题目的深刻

3、分析，通过适当方程的通解为，另有特解。的方法“凑”出所需要的“数学量”，有效地简化、解决问题，达另外，凑微分也是求解全微分方程最有力的工具。到事半功倍的效果，而且这种“凑”的过程还能培养学生解决数学例3.求方程的通解。问题的灵活性和创造性。在小学数学中，我们常用到“凑十法”，该题是微分形式的一阶方程，可以通过全微分方程的充要条件它是将以20内的进位加法转化为学生所熟悉的10加几的题目，从而判断它是全微分方程，也就是说存在一个二元函数，它的全微分恰化难为易，其中“凑配法”是中学数学常用的解题方法之一，它是是方程的

4、左式。如果按照全微分方程的定义求解这个二元函数，过对数学表达式进行一种定向变形的技巧，利用配方找到已知条件和程太过复杂，也易出错，我们可采用拆项重组以后再“凑微分”的未知条件之间的联系，从而简化数学表达式，它的使用工具主要是方法求解：完全平方公式。在高等数学的解题方法中，“凑”也是一种常用的解题方法，大家最熟悉的是“凑微分”。除此以外，我们也常用到“凑函数”、“凑矩阵”等凑的方法。本文通过几种不同类型的题目，介绍高等数学中常用的几种“凑”法。从而得到原方程的通解为：。一、凑微分二、凑函数该方法是将被积函数的整体

5、或部分凑成某个函数的微分，再通在常微分方程一阶隐式方程的四种类型中，不显含或的这两过换元或分部的形式，求解积分。“凑微分”的前提是灵活、熟练种类型都需要采用“凑函数”的方法来简化方程。由于方程的复杂掌握基本积分公式，通过细致观察，找出被积函数的部分与部分之性和多样性，如何恰当地“凑函数”，是求解以上方程的关键所间存在的“导数关系”(即一部分是另一部分的导数或导数的倍在。通常采用的函数有线性函数、三角函数和幂函数。一般情况数)，从而凑出一个新的微分，使得被积函数转化为较简单的、易下，若方程中含有、、或等类于求原函

6、数的函数。它的基本形式为：似形式的函数，可以通过凑三角函数的方法，化简根式；其它情况，将原来的微分凑成一个通常凑线性函数或幂函数。例4.求解方程。新的微分，其中通过换元后是一个易于求得原函数的该题可以按能解出的类型方法来解，但过程比较繁琐，且求函数。出的一般是参数形式的解。根据方程的特点，我们需要通过化简消例1.求解不定积分。除根式，因此可以利用三角函数的平方公式：，凑出一个函数，解法如下：在该题中应熟知，这样被积函数可以看作是两个函令，则原方程化为：数的积，通过多步“凑微分”的方法求解不定积分，解法如下：故原

7、方程的通解为，即凑微分的方法也是常微分方程解题中常用的一种方法。微分方程中很多题都是一题多解的，如果选择的方法不恰当，会给解题例5.求解方程。带来很多麻烦，尤其是对某些微分形式的方程，“凑微分”能起到该方程是既不含也不含的类型，而关于的奇次实系数代数“恰如其分”的作用。方程至少有一个实数根，因此可以凑出函数，得到例2.求方程的通解。，而，代入原方程中，从而得到原方程的通解为：该题是一道的伯努利方程，按照一般的方法，我们首先要通过变量代换将程转换化一阶线性程式，再根一阶线收稿日期：2013-08-04作者简介：吴

8、代龙（1980-），男，安徽安庆人，从事一般拓扑学向的研究。1762013年第9期No.9.2013高等教育总第131期Sum131而在方程中，若要化简方程并顺利求出的表个矩阵B，使得。我们通常会用A和单位矩阵构成的扩展达式，必须凑出合适的函数使得方程两边的指数相同，通过观察矩阵来求A的逆矩阵。但若已知A满足某个关系式时，我们就可以我们可以发现，方程的左右两边都有平方项，因此可以凑出关