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《高中数学 构造法在解题中的应用论文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、构造法在解题中的应用所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。1.构造辅助数与式在解决某些数学问题时，利用矛盾对立统一性，可以充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数与式，来架设解决问题的桥梁。[例1]证明N=...…﹤0.3[证
2、明]本题若直接计算十分复杂，且方法不具一般性。根据题目中数的形似可以构造相应的数：M=..…显然M×N=又N﹤M（因为﹤；﹤；…）所以N﹤N×M=，从而得N﹤=0.3[例2]解方程－=－①［解］观察题设可以看出(7x-4)-(7x-5)=(4x-1)-(4x-2)=1由此可以联想到(7x-4)-(7x-5)与－的关系从而构造辅助恒等式(7x-4)-(7x-5)=(4x-1)-(4x-2)②因为①式两端不等于0，由②÷①，得＋=＋③由①＋③，得10用心爱心专心=所以x=1，经检验x=1是原方程的根。
3、［例3］对于正数x，规定f（x）=,计算f（）+f（）+f（）+…f（）+f（）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2004）+f（2005）+f（2006）=.［解］显然不可能将代入求解,但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶式,则=,从而原式的结果为2006.2.构造辅助函数函数在中学数学中占有非常重要的地位,学生们对于函数也很熟悉，选择构造函数这个学生很熟悉的模型来解决问题,将会大大提高学生解决问题的能力。由于一些代数式之间从形式上,本质上的相同之处,这就启示着我们在某些数学问
4、题的研究过程中,可构造类似的数学形式,运用构造的数学形式的内涵来解决问题。[例4]求证:.分析:拿到这道题,如果我们按常规的证明不等式的方法来做，我们应该清楚用比较法,但是比较法对于这个题目相当困难，仔细观察可以发现不等式两边式子的形式相同,那么我们可以构造一个更一般的函数形式:f(x)=,再利用函数的单调性问题就很容易解决了,免去了复杂的化简过程。[解]构造函数f(x)=,x。而函数f(x)=在定义域内单调递增（易证）10用心爱心专心又∵
5、a+b
6、
7、a
8、+
9、b
10、,∴f(
11、a+b
12、)f(
13、a
14、+
15、
16、b
17、)即，命题得证。注意：运用这种构造,我们还可以证一般的情况:[例5]已知a、b、c、d、e均为实数，且a+b+c+d+e=8……①a+b+c+d+e=16……②,求e的最大值。[解]构造以x为自变量的二次函数y=4x+2(a+b+c+d)x+(a+b+c+d)③即y=(x+a)+(x+b)+(x+c)+(x+d)④因此④的值恒为非负数，故式③的判别式小于或等于0，即4（a+b+c+d）-4×4×(a+b+c+d)≦04(8-e)-16(16-e)≦0,0≦e≦即e的最大值为。点评：换个角度看问
18、题，换个方面去解释，换个方向去思考。在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。3.构造辅助方程方程作为中学数学的重要内容之一,它与代数式,函数,不等式等知识密切不可分。依据方程理论,能使许多的问题得以转化从而得到解决,这对学生的数学思想的培养具有重要意义。[例6]求y=的值域。分析:求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将y=f(x)化为关于x的二次方程,那么方程若有实根,判别式0,由此可求得函数
19、的值域。10用心爱心专心[解]将y=变形为关于x的方程（1-y）-(y+3)x+(1-y)=0⑴当y1时,方程为关于x的二次方程所以-40,解得,⑵当y=1时,x=0,此时于是y=的值域为。[例7]已知⊿ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是,且，,求证：⊿ABC是等腰三角形.分析：由已知式，用的代数式表示，进而可考虑构造出一元二次方程来求解.[解]由，，得于是构造一元二次方程可见是该方程的两个实数根，故即，但，所以0，即⊿ABC是等腰三角形.4.构造辅助数列在高中数学教材中，有很多已知等差数列的
20、首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差、等比数列，给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法。4.1利用倒数关系构造数列。10用心爱心专心［例8］中，若求an[解］+4,即＝４，｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公
