几种插值法比较与应用.doc

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1、多种插值法比较与应用（一）Lagrange插值1．Lagrange插值基函数n+1个n次多项式称为Lagrange插值基函数2．Lagrange插值多项式设给定n+1个互异点，，，，满足插值条件，的n次多项式为Lagrange插值多项式，称为插值余项，其中（二）Newton插值1．差商的定义关于的零阶差商关于，的一阶差商依次类推，关于，，……，的k阶差商2．Newton插值多项式设给定的n+1个互异点，，，，称满足条件，的n次多项式为Newton插值多项式，称为插值余项。（三）Hermite插值设，已知互异点，，…，及所对应的函数值为，，…，，导数值为，，…，，则满足条件的次Hermite插

2、值多项式为其中称为Hermite插值基函数，是Lagrange插值基函数，若，插值误差为，（四）分段插值设在区间上给定n+1个插值节点和相应的函数值，，…，，求作一个插值函数，具有性质①（）。②在每个小区间内（）上是线性函数。（五）样条插值设在区间上取n+1个节点给定这些点的函数值。若函数满足条件：①，；②在每个区间（）上是3次多项式；③；④取下列边界条件之一：（ⅰ）第一边界条件：，，（ⅱ）第二边界条件：，或（ⅲ）周期边界条件：，称为3次样条插值函数。（六）有理插值设在区间上给定n+m+1个互异节点，，，……，，上的函数值，，构造一个有理插值，满足条件：，则称为点集{，，，……，，}上的有理

3、插值函数。例1．设，，…，为n+1个互异的插值节点，，，…，为Lagrange插值基函数，证明证考虑，利用Lagrange插值余项定理显然。利用Lagrange基函数插值公式，有例2给出下列表格：00.20.40.60.81.000.199560.396160.588130.772100.94608对于正弦积分，当时，求的值。解利用反插值计算线性插值，取，，，。，。2次插值，取，，，，，，。故值约为0.456。例3取节点，对函数建立线性插值。解先构造，两点的线性插值多项式。因为011（1）Lagrange型插值多项式构造和的一次插值基函数，这样就容易得到（2）Newton型插值多项式因为，所

4、以例4根据函数的数据表0.400.500.700.80-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231442.5000002.0000001.4285711.250000运用Hermite插值计算。解，，，，首先构造Hermite插值基函数，，，，，，，。然后利用Hermite插值公式写出直接计算得，，，，，，，..事实上，另外，.例5判断下面的函数是否是3次样条函数：解在上连续，在上连续；在上连续，即。又在每段上都是3项式，故是3次样条函数。总结：通过以上定义于例子的学习让我们更好的掌握了插值多项式的方法。