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《高中数学 空间角的相关知识分析 新人教A版必修2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间的角【例1】如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.(1)求证：MN分别与α、β所成角相等；(2)求MN与β所成角.解：(1)证明：作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△N
2、PA，∴MB=NA.在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.(2)解：设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ，NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0解得sin
3、2θ=,sinθ=，当sinθ=时，CN=asinθ=a＞PN不合理，舍去.15∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°.【例1】在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.(1)求证：四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.解：(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形.∴B′E∥
4、A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形.∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos.(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.15又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB
5、′在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos.(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中，sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.【例1】如下图，已知平行六面
6、体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.15求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.∴BD1与AC所成角的余弦值为.【例1】长方体中，，，是侧棱中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小；15（3）求三棱锥的体积．解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面的一条垂线．不难发现，正为所求．由长方体知：，又，所以，．在矩形中，为中点且，，所以，，所以，为等腰直角三角形，．所以，面．所以，就是直线与平面所成的角，为
7、．（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．注意到，所以，面，所以，只需在内过点作于F，则面．过作于G，连EG，则就是二面角的平面角．在中，，所以，．在中，．在中，．所以，二面角的平面角的大小为．（3）要求三棱锥的体积，注意到（2）中已经求出了点到平面15的距离EF．所以，．另一方面，也可以利用等积转化．因为，所以，．所以，点A到平的距离就等于点到平的距离．所以，．【例1】如图，已知面，于D，。（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？解：（
8、1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。∵面，于D，∴。∴。∴。∵为在面上的射影。∴，即。∴。即
