高中数学 2.3.3空间中的角导学案 新人教a版必修2 (2)

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1、第二章2.3.3空间中的角【学习目标】掌握空间中的三种角的概念及范围；能够在已知图形中找出或者做出所求角，并能在三角形中进行计算.【学习重点】空间中的角度的计算【知识链接】1.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【基础知识】图11.如图1,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥,∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.反思：思考下列问题.（1）作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗?点的位置

2、怎样取才比较简便?（2）异面直线所成的角的范围是多少?（3）两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?（4）异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?（5）异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.2.直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.反思：求直线与平面所成的角关键是：在斜线上选出一特殊点，做出

3、其在平面内的射影.确定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上（射影在角分线定理）③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.④面面垂直的性质定理.3.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图1中的二面角可记作：二面角或或.图1图2如图2，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.反思：⑴两个

4、平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(为什么?)【例题讲解】例1如图，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴和⑵和（1）（2）例2如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.变式训练1：如图，在Rt中，斜边，其射影，°,求与平面所成角的正弦值.()例3在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC,PA=AB,ABC=,B

5、CA=,点D、E分别在棱PB、PC上，且DE//BC.(1)求证：BC底面PAC；(2)当D是PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.（存在，）【达标检测】1.以下四个命题，正确的是（D）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2.在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（C）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行3.二面角的大小范围是.4.若

6、平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在平面内的的射影垂直，则它和这条斜线垂直（三垂线定理）.5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的的射影垂直（三垂线定理的逆定理）6.两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是相交、平行或异面.7.棱长都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1，D是BB1的中点，，求面A1DC与面A1B1C1所成的锐二面角的大小为.8.如图，四棱锥的底面是个矩形，，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.⑴证明：侧面侧面；⑵求侧棱与底面所成的角.（）9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC=，

7、AD=AC=1，O为AC的中点，PO平面ABCD,PO=2，M为PD的中点.(1)求证：PB//平面ACM;(2)证明AD平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.()【问题与收获】