氢原子波函数.doc

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1、第二节 氢原子的波函数波函数   氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的ö方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如、离子等。   为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(，，)改换成球极坐标表示的ψ(,θ，φ)，二者的关系如图所示：表示点与原点的距离，θ、φ 称为方位角。  θφ  θφ  θ  解出的氢原子的波函数ψ(,θ，φ)及其相应能量列于表中。图直角坐标转换成球极坐标表 氢原子的一些波函数及其能量轨道ψ，，(,θ,φ)，()，(θ,φ)能量  ××θ

2、θ×θφθφ×θφθφ×* 、、、均为常数   为了方便起见，量子力学借用理论中“原子轨道”()的概念，将波函数仍称为原子轨道()，但二者的涵义截然不同。例如：认为基态氢原子的原子轨道是半径等于的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ(,θ,φ)，其中　和均为常数，它说明ψ在任意方位角随离核距离改变而变化的情况，它代表氢原子核外电子的运动状态，但并不表示电子有确定的运动轨道。电子具有的能量是×。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ(,θ,φ)、(,θ,φ)等，相应的能量是×。量子数   要解出薛定谔方

3、程的ψ和，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进,,三个量子数。这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下：主量子数()   常用符号表示。它可以取非零的任意正整数，即，，…。它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。时，电子离核的平均距离最近，能量最低。愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。所以也称为电子层数()。对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式                      

4、  决定。从这个式子可以看出，愈大，就愈大（负值的绝对值愈小）。轨道角动量量子数()   常用符号表示。它的取值受主量子数的限制，它只能取小于的正整数并包括零，即可以等于、、、…(–)，共可取个数值。按光谱学的习惯，时，用符号表示，时，用符号表示，时，用符号表示，时用符号表示等等。轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。如时，原子轨道呈球形分布；时，原子轨道呈双球形分布等。在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，即在同一电子层中

5、的电子还可分为若干不同的能级()或称为亚层()，当主量子相同时，轨道角动量量子数愈大，能量愈高。于是有          ＜＜＜。对氢原子来说，。磁量子数()   常用表示。它的取值受轨道角动量量子数的限制。即可以等于、±、±，…±等整数。所以，磁量子数共有（2l）个数值。磁量子数决定原子轨道在空间的伸展方向，但它与电子的能量无关。例如时，磁量子数可以有三个取值，即、±，说明轨道在空间有三种不同的伸展方向，即共有个轨道。但这个轨道的能量相同，即能级相同，称为简并或等价轨道。   综上所述，可以看到、、这三个量子数的组合有一定

6、的规律。例如，时，只能等于，也只能等于，三个量子数的组合只有一种，即、、,说明第一电子层只有一个能级，也只有一个轨道，相应的波函数写成ψ，，或写成ψ。时，可以等于和，所以第二电子层共有两个能级。当、时，只能等于；而当、时，可以等于、±。它们的量子数组合共有四种，即，，(ψ)；，，()；，，±(，)。   这也说明第二电子层共有个轨道，其中，，的组合是一个能级，其余三种组合属第二个较高的能级。由此类推，每个电子层的轨道总数应为。参见表表 量子数组合和轨道数主量子数角量子数磁量子数波函数ψ同一电子层的轨道数（）ΨΨΨ±Ψ，ΨΨΨ

7、±Ψ，ΨΨ±Ψ，Ψ±Ψ，Ψ   上述三个量子数的合理组合决定了一个原子轨道。但要描述电子的运动状态还需要有第四个量子数—自旋角动量量子数()，用符号表示。它不是通过解薛定谔方程得来的，所以与、、无关。电子本身还有自旋运动。自旋运动有两种相反的方向，电子自旋运动示意图   分别用自旋角动量量子数和两个数值表示，也可用正反两个箭头符号↑和↓表示。      两个电子的自旋方向相同时称为平行自旋，反之称为反平行自旋。量子力学建立之后也肯定了上述观点。所以一共要有四个量子数，即、、、，才能表示一个电子的运动状态。实例分析：已知基态原

8、子的价电子处于最外层亚层，试用、、、量子数来描述它的运动状态。解 最外层亚层的、、，所以它的运动状态可表示为，，，（或）。概率密度和电子云   氢原子核外只有一个电子，若固定原子核，电子的位置虽不确定，但它具有统计规律性。前已述及，∣ψ∣表示电子在核外空间某点(,θ，φ)出现的概率密度，为