第二节 氢原子的波函数

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1、第二节 氢原子的波函数波函数   氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinger方程可以精确求解。能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。   为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z)改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ 称为方位角。  x=rsinθcosφ  y=rsinθsinφ  z=rcosθ  解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及

2、其相应能量列于表8-1中。图8-3直角坐标转换成球极坐标表8-1 氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ,φ)Rn，l(r)Yl，m(θ,φ)能量/J1s  A1e-BrA1e-Br-2.18×10-182sA2re-Br/2A2re-Br/2-2.18×10-18/222pzA3re-Br/2cosθA3re-Br/2cosθ-2.18×10-18/222pxA3re-Br/2sinθcosφA3re-Br/2sinθcosφ-2.18×10-18/222pyA3re-Br/2sinθsinφA

3、3re-Br/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数   为了方便起见，量子力学借用BohrNHD理论中“原子轨道”(atomicorbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomicorbital)，但二者的涵义截然不同。例如：BohrNHD认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9pm的球形轨道。而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1　和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核

4、外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。1s电子具有的能量是-2.18×10-18J。氢原子核外电子的运动状态还有许多激发态，如ψ2s(r,θ,φ)、(r,θ,φ)等，相应的能量是-5.45×10-19J。量子数   要解出薛定谔方程的ψ和E，必须要满足一定的条件，才能使解是合理的，因此，在求解过程中必需引进n,l,m三个量子数。这三个参数的取值和组合一定时，就确定了一个波函数。三个量子数的取值限制和它们的物理意义如下：主量子数(principalquantumnumber)   常用符号n

5、表示。它可以取非零的任意正整数，即1，2，3…n。它决定电子在核外空间出现概率最大的区域离核的远近，并且是决定电子能量高低的主要因素。n=1时，电子离核的平均距离最近，能量最低。n愈大，电子离核的平均距离愈远，能量愈高。所以n也称为电子层数(electronshellnumber)。对氢原子来说电子的能量完全由主量子数决定，即由式                        决定。从这个式子可以看出，n愈大，E就愈大（负值的绝对值愈小）。轨道角动量量子数(orbitalangularmomentumquan

6、tumnumber)   常用符号l表示。它的取值受主量子数的限制，它只能取小于n的正整数并包括零，即l可以等于0、1、2、3…(n–1)，共可取n个数值。按光谱学的习惯，l=0时，用符号s表示，l=1时，用符号p表示，l=2时，用符号d表示，l=3时用符号f表示等等。轨道角动量量子数决定原子轨道的形状。如l=0时，原子轨道呈球形分布；l=1时，原子轨道呈双球形分布等。在多电子原子中，轨道角动量量子数也是决定电子能量高低的因素。所以，在多电子原子中，主量子数相同、轨道角动量量子数不同的电子，其能量是不相等的，

7、即在同一电子层中的电子还可分为若干不同的能级(energylevel)或称为亚层(subshell)，当主量子n相同时，轨道角动量量子数l愈大，能量愈高。于是有          Ens＜Enp＜End＜Enf。对氢原子来说，Ens=Enp=End=Enf。磁量子数(magneticquantumnumber)   常用m表示。它的取值受轨道角动量量子数的限制。即m可以等于0、±1、±2，…±l等整数。所以，磁量子数共有（2l+1）个数值。磁量子数决定原子轨道在空间的伸展方向，但它与电子的能量无关。例如l=1

8、时，磁量子数可以有三个取值，即m=0、±1，说明p轨道在空间有三种不同的伸展方向，即共有3个p轨道。但这3个p轨道的能量相同，即能级相同，称为简并或等价轨道。   综上所述，可以看到n、l、m这三个量子数的组合有一定的规律。例如，n=1时，l只能等于0，m也只能等于0，三个量子数的组合只有一种，即1、0、0,说明第一电子层只有一个能级，也只有一个轨道，相应的波函数写成ψ1，0，0或写成ψ1s。n=2