（一）二体问题处理（二）氢原子能级和波函数.ppt

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1、（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数§4氢原子量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。1x+r1r2rR2Oyz（1）基本考虑I一个具有折合质量的粒子在场中的运动II二粒子作为一个整体的质心运动。（2）数学处理一个电子和一个质子组成的氢原子的Schrodinger方程是：将二体问题化为一体问题令分量式二体运动可化为：（一）二体问题的处

2、理系统Hamilton量则改写为：其中=12/(1+2)是折合质量。相对坐标和质心坐标下Schrodinger方程形式为：代入上式并除以(r)(R)于是：第二式是质心运动方程，描述能量为(ET-E)的自由粒子的定态Schrodinger方程，说明质心以能量(ET-E)作自由运动。由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为：只与R有关只与r有关我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为的粒子在势能为V(r)的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数(

3、r)所满足的方程，相对运动能量E就是电子的能级。n=1的态是基态，E1=-(e4/22)，当n→∞时，E∞=0，则电离能为：ε=E∞-E1=-E1=μe4/22=13.579eV.氢原子相对运动定态Schrodinger方程问题的求解上一节已经解决，只要令：Z=1,是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：（1）能级1.基态及电离能2.氢原子谱线RH是里德堡常数。上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论中Bohr是认为加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schro

4、dinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。（二）氢原子能级和波函数（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布1.氢原子的波函数将上节给出的波函数取Z=1,μ用电子折合质量，就得到氢原子的波函数：2.径向几率分布例如：对于基态当氢原子处于ψnlm(r,θ,)时，电子在(r,θ,)点附近体积元d=r2sindrdd内的几率对空间立体角积分后得到在半径rr+dr球壳内找到电子的几率考虑球谐函数的归一化求最可几半径极值[1，0][2，0][3，0][4，0]03

5、69121518212427303336r/a0a0Wnl(r)Wnl(r)~r的函数关系[n，l]Rnl(r)的节点数nr=n––1[2，1][3，1][4，1]04812162024283236404448r/a0a0Wnl(r)Wnl(r)~r的函数关系[n，l]Rnl(r)的节点数nr=n––13.几率密度随角度变化对r(0∞)积分Rnl(r)已归一电子在(θ,)附近立体角d=sindd内的几率图示出了各种,m态下，Wm()关于的函数关系，由于它与角无关，所以图

6、形都是绕z轴旋转对称的立体图形。该几率与角无关例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与也无关，是一个球对称分布。xyz例2.=1,m=±1时，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2。在=π/2时，有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0时，W1,0()={3/4π}cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=π/2时，等于零。zzyxxyZm=-2m=+2m=+1m=-1m=0=2作业周世勋《量子力学教程》3.2题（一）厄密算符

7、的平均值（二）厄密算符的本征方程（三）厄密算符本征函数的正交性（四）实例§5厄密算符的本征值与本征函数定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：证：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1、ψ2也是任意态的波函数，c是任意常数。（一）厄密算符的平均值因为对任意波函数左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是

8、实数，因此相应的算符必须是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：（1）涨落因为是厄密算符必为实数因而也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有：（2）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量F所得结果是唯一确定的，即：则称这种状态为力学量F的本征态。可把常数记为Fn，把状态记为ψn，于是得：其中Fn,ψn分别称为算符F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。证明：（二）