3.刚体绕固定点转动

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1、§3.刚体绕固定点转动三、欧勒角上次课已经讲过，刚体绕固定点转动时，它在空间的位置可以用三个相互独立的欧拉角来确定，这三个欧拉角也都是时间t的函数：这些关系也就是描写定点转动刚体再空间的位置随时间变化规律的运动学方程。将这三个运动学方程分别对时间t求一阶导数就可以得到三个相应的欧拉角速度，即刚体绕定点转动的角速度，其中的都是单位矢量，是沿固定坐标系轴正方向的单位矢，是沿动坐标系轴的单位矢；但要注意是沿方向的单位矢量。当然，刚体绕定点转动的角速度也可以用直角坐标的分量形式来表示，在动坐标中可以写成为：，是沿三个动坐标轴的单位矢。欧勒处理刚体定点转动的方法就是在刚体上固结一个绕

2、定点转动的动坐标系。然后将和都分解在这个动坐标上，从而建立了一整套用于解决刚体定点转动的一般问题的运动学方程和动力学方程。欧勒建立起来的运动学方程和动力学方程就称之为欧拉运动学方程和欧勒动力学方程，它们统称为欧勒方程。这次课专门讨论欧勒运动学方程。5.欧拉运动学方程欧勒运动学方程就是找出和欧拉角与欧勒角速度的函数关系：下面我们就来找出这些具体的函数关系。是角速度沿动坐系的轴的分量，它就等于角速度矢量与该轴单位矢量的标积：又显而易见，角速度在轴上的分量就等于三个欧勒角速度在轴上的投影之和。同样道理可以得知角速度在轴的分量和也就是等于三个欧勒角速度分别在轴上的投影之和。我们结合

3、上图容易看出三个欧勒角速度分别在三动坐标轴上的分量为：因为自转角速度是沿着轴的，所以它在轴和轴上的分量都等于0，章动角速度……，进动角速度是沿着轴的，我们先将它分解到轴和上，与轴是相互垂直的，在轴上的分量是，在上的分量是。然后再将上的分量分解到和上，它在轴上的分量是。于是可得这就是刚体定点轴动的欧勒运动学方程。四．空间极面和本体极面在前面，我们已经讲过，刚体在作定点转动中，瞬时转动轴的方向随时都在改变，瞬时转轴在空间也就是在固定坐标系中的轨迹叫做1.空间极面:瞬时轴在固定坐标系中的轨迹。2.本体极面：瞬时轴在刚体本身动坐标系中轨迹就叫做本体极面在任一瞬时，空间极面与本体极面

4、沿着通过定点相切的这一直线就是瞬时转轴。所以，刚体的定点转动，可以看作为本体极面在空间极面上作无滑动。本体极面和空间极面的方程可以根据瞬时轴线上各点的速度，由得到。我们只要将和代入<1>式就可以得到：；；从这些方程，可以得到空间极面方程式为：在定点转动的情况下，定、动坐标系的原点都取在固定点上，所以刚体上任一点相对定、动坐标系的位置矢径是相等的。即：因此我们用同样的道理将和代入<1>就可以得到本体极面的方程：。五、刚体上任一点的速度和加速度:如果已知定点转动刚体在某一瞬时的角速度，那么在该瞬时刚体上各点的线速度和线加速度也就可以知道。我们根据第三章得到的速度和加速度公式很容

5、易得到右图定点转动刚体上任一点p的速度,p点的加速度为：。这个式子中右边的第一项是角速度变化而产生的加速度，称它为转动加速度。第二项我们用右螺旋法则可以判断它的方向指向瞬时转动轴的，所以也就称为它为向轴加速度。可以证明：，这个是垂直于瞬时轴即指向p点的矢量，如下图所示。证明：证毕。3.一般运动最后剩下来要讲的还有刚体的一般运动。当刚体不受任何约束而在空间可以自由运动，刚体的这种运动形成就叫做一般运动。刚体的一般运动可以看作平动加上绕质心的转动的合成运动。关于刚体力学的第一部分即运动学问题就讨论到这里为止，接下去讨论作用在刚体上的力。§4、作用在刚体上的力研究刚体动力学和静力

6、学问题时，首先要分析作用在刚体上的力，作用在刚体上的力能不能像作用在质点上的力一样来处理呢？一般来讲是不能简单地象处理作用在质点上的力一样。由于作用在刚体上的几个力往往不是作用在同一点上的，而是作用在刚体的不同部位上。那么这些力是否可以用一个力来等效呢？这个问题正是这节课所要讨论的问题。在刚体力学中，把作用在刚体上的几个力的集合就称之为力系。现在我们先来了解作用在刚体上的力系的一些性质。一．力的可传性：作用在刚体上的力的一个重要性质是力的可使性1.一个实验事实：一个实验事实表明：如果作用在刚体上的两个外力和大小相等，方向相反，即=-，并且其作用线相同，即在同一直线上。刚体在

7、这样的两个外力作用下，将仍然保持其平衡状态，它的运动状态不会发生任何改变。由这个实验很容易推出作用在刚体上的力具有可传性的这个重要性质2.力的可传性：所谓力的可传性是指作用在刚体上的力，可沿其作用线移动，即力的作用点可沿其作用线改变，但它不会改变刚体的运动效果，对于刚体运动效果是一样的。由于作用在刚体上的力具有可传性，所以在刚体力学中，就认为力是滑移矢量。在这里我们还需引起注意：<1>.作用在刚体上的力虽然可以沿力的作用线滑移，但力的作用线的位置不能任意平移。如右图所示，如果我们将作用在刚体上A点的力，平移到刚体的