陈世民理论力学简明教程(第二版)答案第五张-刚体力学.doc

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1、第五张刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A为基点）（2）刚体内的瞬心S：〈析〉为基点转动的矢量和，值得注意的是：有转动时与的微分，引入了与项。2刚体的动量，角动量，动能（1）动量：（2）角动量：式中：转动惯量惯量积且*方向（以为轴）的转动惯量：（分别为与轴夹角的余弦）*惯量主轴惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线若X轴为惯量主轴，

2、则含X的惯量积为0，即:若轴均为惯量主轴，则:〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。(3)动能：*定轴转动时:*平面平行运动:3刚体的动力学方程与质点动力学方程相同。〈析〉求角动量时，须注意：4刚体的定轴转动:质心定理:角动量定理:〈析〉须注意外力与外力矩包括轴对物体作用5刚体的平面平行运动6刚体的定点运动（1）基本方程（以惯量主轴为坐标轴）质心定理：机械能守恒：〈析〉为活动坐标系绕固定坐标系的转速则有：如：（2）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）写成分量形式：〈析〉时，可导出可以解释地球的纬

3、度变迁。（3）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋）三个角速度：自旋：进动：章动：总角速度：即由于对称；代入可得：代入：可整理出；〈析〉可以用势函数来判断进动的规则性，如：规则进动时，另外，也可用S来判断，（其实更简单）。规则进动时：[解题演示]1．一长为的棒AB，靠在半径为的半圆形柱面上，如图所示。今A点以恒定速度沿水平线运动。试求:(1)B点的速度;(2)画出棒的瞬时转动中心的位置.解：如右图所示建立坐标系，依图知:得:瞬心S满足：如上图所示.2．一轮的半径为，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒

4、定速度前进。求轮缘上任一点（该点处的轮辐与水平线成角）的速度和加速度。解：如右图所示建立坐标系,则:得：故：1．半径为的圆柱夹在两块相互平等的平板A和B之间，两板分别以速度和反向运动，见图。若圆柱和两板间无相对滑动，求（1）圆柱瞬心位置；（2）圆柱与板的接触点M的加速度。解：如右图所示建立坐标系，设瞬心在S点。得：（1）（2）2．高为，顶角为的圆锥，在一平面上无滑动的滚动。已知圆锥轴线以恒定角速度绕过顶点的铅直顽固不化转动。求（1）圆锥的角速度；（2）锥体底面上最高点的速度；（3）圆锥的角加速度。解：如右图所示建立

5、坐标系，并取定点。（1）得：（2）则：（3）1．在一半径为R的球队体上置一半径为的较小的球，它们的连心线与竖直轴间保持角，如图。若绕竖直轴以恒定的角速度转动，小球在大球上无滑动地滚动。分别求出小球最高点A和最低点B的速度.解：如右图所示建立坐标系，则有：设球的转动速度为：则有:又有:得:则:1．一边长为，质量为的匀质立方体，分别求出该立方体对过顶点的棱边，面对角线和体对角线的转动惯量和.解：如右图所示，取三条对称轴建立坐标系.依对称性知:再依平行轴定理:2．一匀质等边三角形的薄板，边长为。质量为,试在图所示的坐标系

6、下，求出薄板对质心C的惯量矩阵，并由此导出对顶点O的惯量矩阵。图中坐标系和坐标系的坐标轴分别相互平行，和都在薄板平面内.解：（1）又因为与为对称轴，则故：（2）1．质量为，长为的细长杆，绕通过杆端点O的铅直轴以角速度转动。杆于转轴间的夹角保持恒定。求杆对端点O的角动量.解：如右图建立坐标系，有则：角动量2．一半径为质量为的圆盘，在水平面上作纯滚动，盘面法线与铅直轴间保持恒定角度，盘心则以恒定速率作半径为的圆周运动。求圆盘的动能.解：如右图所示取定各参量及坐标系，则有：且有：得：又依：得：故：1．一半径为的匀质圆盘，

7、平船在粗糙的水平桌面上，绕通过其中心的竖直轴转动，初始时刻圆盘的角速度大小为。已知圆盘与桌面间的磨擦系数为。问经过多少时间圆盘将停止转动？解：故：2．如图，一矩莆匀质薄板，长为，宽为，质量为。薄板绕竖直轴以初角速度转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？解：得：积分并代入：得：故时：1．一质量为，长为的匀质细长杆，一端与固定点o光滑铰链。初始时刻杆竖直向上，尔后倒下。试分别求出此后杆绕铰链O转动的角速度，作用于铰链上的力与杆转过的角度的关系.

8、解：（1）如右图。有：得：将移至右侧且积分得：得：（1）设则以质心C为参照点有：得：在方向上：得：故：2．一段匀质圆弧，半径为R绕通过弧线中点并与弧线垂直的水平轴线摆动。求弧线作微振动时的周期.解：参量如右图所示，易求得：（由4.1题知）而：，故：又因为是微振动，故：积分得：则：1．一矩形薄板，边长分别为和，以角速度绕对角线转动。今若突然改为绕边转动，求此时