理论力学简明教程(第二版)陈世民 答案.pdf

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1、第一章牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起�三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色�微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】1质点运动的描述�1�直线坐标系rrrrr=xi+yj+zkrrrrrυ&=r&=x&i+y&j+z&krrrrrra=υ&=&r&=&x&i+&y&j+&z&k�2�平面极坐标系rrr=rerr&r&rυ=re+rθerθar=(&r&−rθ&2)er+(rθ&&+2r&θ&)errθ�3�自然坐标系rrυ=υ

2、et2rrvra=υ&e+etnρ�4�柱坐标系2rrvra=υ&e+etnρυr=ρ&re+ρθ&er+z&erρθzrrrrrrrrrrrr〈析〉上述矢量顺序分别为�i,j,k;e,e,e;e,e,e;e,e,e.rθktnbρθzrderrrr=θ&e×e=θ&ekrθdtrderrr矢量微分�θ=θ&e×e=−θ&ekθrdtrderrk=θ&e×e=0kkdt�其它各矢量微分与此方法相同�微分时一定要注意矢量顺序2牛顿定律惯性定律的矢量表述rd2rrrma=m=F2dt�1�直角坐标系

3、中⎧F=m&x&x⎪⎨F=m&y&y⎪⎩F=m&z&z�2�极挫标系中⎧F=m(&r&−rθ&2)r⎪⎨F=m(rθ&&+2r&θ&)θ⎪F=0⎩k�3�自然坐标系中⎧F=mυ&τ⎪2⎪υ⎨F=mn⎪ρ⎪F=0⎩b3质点运动的基本定理几个量的定义�rr动量P=mυrrrrr角动量L=r×mυ=r×Prrr冲量I=P−P21rrr力矩M=r×Frrrtr2冲量矩H=I−I=Mdt21∫t112动能T=mυ2rrdP�1�动量定理F=dtrdPreˆ方向上动量守恒��eˆ=F�eˆ=0llldtrr

4、dL�2�动量矩定理M=dtrrrdυrdT�3�动能定理F�υ=m�υ=dtdt4机戒能守恒定理T+V=E∂V∂V∂Vrr〈析〉势函数V:dV=dx+dy+dz=−F�dr∂x∂y∂zr∂Vr∂Vr∂VrF=−(i+j+k)∂x∂y∂z2dVdV(x)(x)稳定平衡下的势函数�=0;>0dxdxx=x0x=x0此时势能处极小处Vm⎧V

5、B上滑动�O点与钢丝间的垂直距离为d�如图所示。求rr小环的速度υ和加速度a。解�依几何关系知�x=dtanθrrdωrd2+x2r又因为�υ=x&i=i=ωi2cosθdrrω2(d2+x2)xr故�a=υ&=2xx&i=ω2i2dd2椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Oχ与Oy滑动�已知B端以匀速c运动�如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。解�依题知�y=(b+d)cosθB且�y&=−C=−(b+d)θ&sinθB得�θ&=CKK*(b+d)sinθ又因M

6、点位置�x=bsinθ,y=dcosθMMrrrrr故有�υ=x&i+

7、y&j=bθ&cosθi−dθ&sinθjMMMrbccotθrdcr代入�*�式得�υ=i−jMb+db+dc222即�υ=bcotθ+db+drrbcθ&rbc2ra=υ&=−i=iMM222(b+d)sinθ(b+d)sinθ1一半径为r的圆盘以匀角速率ω沿一直线滚动�如图所示。求rr圆盘边上任意一点M的速度υ和加速度a�以O、M点的连线与铅直线间的夹角θ表示��并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。解�设O点坐标为

8、�ωRt+x,R�。则M点坐标为0�ωRt+x+Rsinθ,R+Rcosθ�0rrrr故�υ=x&i+y&j=(ωR+Rωcosθ)i−RMMMrrrrrra=υ&=−Rω2sinθi−Rω2cosθj=−Rω2(sinθi+cosθj)MM2一半径为r的圆盘以匀角深度ω在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动�如图所示�求圆盘边上M点的深度υ和加速度α�用参量θ�Ψ表示�。θ&rωr解�依题知�ϕ&=−=−R−rR−rrrr且O点处�e=cos(θ−ϕ)e−sin(θ−ϕ)ekrθ则�rrrr

9、=r+rMO′OOMrr=(R−r)e+reRrrr=[(R−r)cos(θ−ϕ)+r]e−(R−r)sin(θ−ϕ)erθrr&υ=rM=r&r(ϕ&−θ&)sin(θ−ϕ)er+[(R−r)cos(θ−ϕ)+r]θ&re−(R−r)(ϕ&−θ&)cos(θ−ϕ)re+(R−r)θ&sin(θ−ϕ)erMrθθrrr=−rωsin(θ−ϕ)e+rω[1−cos(θ−ϕ)]erθrr&a=υ=rω(ϕ&−θ&)cos(θ−ϕ)er−rωθ&sin(θ−ϕ)re−rω(ϕ&−θ&)sin(θ−ϕ)