研究过程的资料收集

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1、研究过程的资料收集研究子课题一：用HP39gs探究三角函数（正割、余割、余切）一、研究背景在上数学课本《必修一》中三角函数的课上，老师给我们介绍时提到三角函数共有六个，除了我们学习的正弦、余弦、正切函数外，还有正割、余割、余切函数，好奇心和图形计算器的拥有使我们开始了我们对正割、余割、余切函数的研究。二、利用计算器作图研究1．正割：图1-1由图1-1可得如下性质：①它是一个周期函数，最小正周期为。②定义域：。③值域：。④当时，函数图象开口向上并且图象都在x轴上方。函数在上是减函数；在上是增函数。在处，函数有最小值为1；当时，函数图象开口向下并且图象都在x轴下方。函数在上是增函数；上是减函数。

2、在处，函数有最小值为。⑤图象关于y轴对称，故它是一个偶函数。⑥函数的对称轴为对称中心为图1-2在利用计算器作图的过程中，发现一个很美的图象，就是将正割与余弦画在同一坐标系中（如图1-2），感觉两个函数图象既互补又对称，我们想那它们会不会有什么联系？于是我们把它们做了一下对比：不同点：①的定义域为；的定义域为。②的值域为；的值域为。③两函数单调性相反，但正割函数少了使得余弦函数的的值例如：在上，余弦函数是增函数；而在和上，正割函数是减函数，取不到这个值。相同点：①对称轴相同，对称中心也相同。②最小正周期相同，都是。③两个函数还有交点：和初中我们只接触过余切，知道正切和余切互为倒数，即，于是我们

3、猜想，正弦、余弦、正割、余割、正切、余切统称三角函数，那么正弦、余弦、正割、余割之间会不会也有类似的结论呢？通过表格（图1-3）查值，我们发现，同一个自变量x所对应的正割值与余弦值确实有互为倒数的关系。图1-3因此我们得出，并通过询问老师得到了证实。2．余割：图1-4由图1-4可得如下性质：①它是一个周期函数，最小正周期为。②定义域：。③值域：。④当时，函数图象开口向上并且图象都在x轴上方。函数在上是减函数；在上是增函数。在处，函数有最小值为1；当时，函数图象开口向下并且图象都在x轴下方。函数在上是增函数；上是减函数。在处，函数有最小值为。⑤图象关于原点对称，故它是一个奇函数。⑥函数的对称轴

4、为对称中心为图1-5我们把正弦与余割函数做一下对比（图1-5）：不同点：①的定义域为；的定义域为。②的值域为；的值域为。③两函数单调性相反，但余割函数少了使得正弦函数的的值例如：在上，正弦函数是增函数；而在和上，余割函数是减函数，取不到这个值。相同点：①对称轴，对称中心都相同。②最小正周期相同，都是。③两个函数的交点：和通过表格（图1-6），我们得到，如下：图1-63．余切：图1-7由图1-7可得如下性质：①它是一个周期函数，最小正周期为。②定义域：。③值域：。④余切函数只有减区间：⑤图象关于原点对称，故它是一个奇函数。⑥函数没有对称轴，对称中心为图1-8我们把正切与余切函数做一下对比（图1

5、-8）：不同点：①的定义域为；的定义域为。②两函数单调性相反，正切函数只有增区间：，余切函数只有减区间：。相同点：①值域相同，都为。②都没有对称轴，对称中心相同，都为。③最小正周期相同，都是。④两个函数的交点：和。进一步验证初中学习的结论（图1-9）：。图1-9研究子课题二：关于利用HP39gs对反函数的初步探究一．研究背景数学课本《必修一》上只是简略介绍了反函数，对于反函数并没有详细解说，从书上我们只了解到同底的指数函数与对数函数互为反函数，至于确切的什么是反函数？有什么性质？但是对于反函数，我们了解得太少，因此我选取“同底的指数函数与对数函数图象间的关系？三角函数是周期函数，是否存在反函

6、数？原函数与反函数会不会有交点，若有，有几个？”三个角度进行研究。二．问题的探究1．同底的指数函数与对数函数图象间的关系作出函数的图象进行对比（如图1-1）图1-1函数的定义域为，值域为；函数的定义域为，值域为。结论：同底的指数函数与对数函数的定义域，值域，对应关系都相反，而且它们的图象关于直线对称。根据上面的探究，我猜想原函数与其反函数会不会都满足函数三要素都相反呢？会不会都关于直线对称呢？继续往下探究。2．反三角函数（1）探究反正弦函数：利用图形计算器作图（计算器上反正弦函数用表示）图1-2结论：①函数的定义域为；值域为。②函数在定义域内是增函数。③函数关于原点对称，故是一个奇函数。（2

7、）探究反余弦函数：利用图形计算器作图（计算器上反正弦函数用表示）图1-3结论：①函数的定义域为；值域为。②函数在定义域内是减函数。③函数既不是偶函数，也不是奇函数。（3）探究反正切函数：利用图形计算器作图（计算器上反正弦函数用表示）图1-4结论：①函数的定义域为；值域为。②函数在定义域内是增函数。③函数关于原点对称，故是一个奇函数。（4）小结与反思①计算器作出来的反三角函数只是在原函数的一个单调区间内的图象，