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时间:2020-03-29
《高三数学总复习知识梳理之八:平面向量.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识<一)基本概念:向量的有关概念有:向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量<共线向量)、数乘向量;b5E2RGbCAP基线、单位向量、基向量、基底、正交基底:;向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量:;向量的模<或向量的长度):;<二)向量的基本运算:1.向量的线性运算:加法、减法及数乘向量的综合运算:<1)向量求和的三角形法则:;<2)向量求和的平行四边形法则:;<3)向量求和的多边形法则:;<4)向量减法法则:;结论1在中<加
2、)或<减)称为向量三角形;推广可有,称为封闭折线.<5)数乘向量的定义:实数和向量的乘积是一个向量,记作;其长为;其方向为:;数乘向量的几何意义是:;向量加法满足下列运算律:<1)加法交换律:。(2>加法结合律:;数乘向量满足下列运算律:<1)<2)<3)。如:①在平行四边形ABCD中,已知,,,,试用表示.②如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为.2.向量共线的条件:结论2<平行向量基本定理)向量与平行<即共线)的充要条件是存在唯一实数使.特别地,三点共线.3.轴上
3、向量的坐标及其运算:已知轴,取单位向量,对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得,我们称x为向量在轴上的坐标<或数量)。p1EanqFDPw设是轴的一个基向量,向量的坐标为AB,则;若轴为x轴,可设点A、B的坐标分别为x1,x2,则向量的坐标AB=。4.向量的分解:结论3<平面向量基本定理)设是平面上两个不共线向量<称为一组基底),则对平面上任一向量,存在唯一实数使.DXDiTa9E3d这里称为向量关于基底的分解式。特别地若,则有①称为定比分点向量式,也称为直线AB的向量参数方程式;②称为中点向量式<为中
4、点).上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法,如:①证明三角形的三条中线交于一点,且这点把三条中线都分成∶的两条线段。②求证三条高相交于一点.5.平面向量的坐标运算:对于结论3,若是一组单位正交基底,则称是向量在基底下的坐标,记作。<在平面直角坐标系下)用坐标表示下列结论:设,则有:;;;;6.向量的数量积:结论4两个向量的数量积为,其中为两个向量的夹角,其范围为.数量积有如下性质:①;是点到直线<甚至到平面)距离公式推导的根据;②夹角公式;<坐标形式)③即<用于求模);④;<坐标形式)⑤<某些不等
5、式放缩证明的根据)数量积的运算律:<1)交换律:;<2)数乘律:;<3)分配律:。<请给出证明)注意:不满足消去律:推不出结论,举例:。5/5如:①已知平面上直线l的方向向量=(->,点O(0,0>和点A(1,-2>在l上的射影分别为和,且λ,其中λ=<)RTCrpUDGiTA.B.-C.2D.-2②模公式的应用举例:<1)求证:,其几何意义是。<2)若,则<3)已知,,,则与的夹角为<4)已知中每两个向量夹角都为且,,,求值.7.直线的方向向量,法向量,若再已知定点,而且点,是单位法向量,则点P到直线
6、的距离公式为:。<向量形式)5PCzVD7HxA8.结论5:,称为向量三角形不等式.<三)三角形的“四心”与向量1.关于重心G,有重心公式:坐标,并有性质;2.关于垂心H,有性质;3.关于外心O,有性质;结论:O、H、G三点共线且;此线称为欧拉<)线。<如何证明?)4.关于内心I,经常涉及内角平分线的研究,如。如:①已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的7、积是③设斜的外接圆圆心为,两条边上的高的交点为,,则实数=。④O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过的<)A、外心B、内心C、重心D、垂心<四)向量与解读几何在解读几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:<1)A、B、C三点共线等价于存在实数,使得<);<2)的重心G的坐标公式为.<3)直线的方向向量是什么?给定两点:,那么,这也就是方向向量,横坐标单位化,得:,也就是说:直线的方向向量是,直线的法向量是.jLBHrnAILg例如:已知为坐标原点,点8、的坐标分别为,点运动时,满足,<1)求动点的轨迹的方程.<2)设、是轨迹上的两点,若,求直线的方程体验练习题一:一、选择题1.已知平面向量a=,b=,则向量(>A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线5/5C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线2.一质点受到平面上的三个力<单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为(>xHAQX74J0XA.6B.2C.D.3.设P是△ABC所在平面内的一点,,
7、积是③设斜的外接圆圆心为,两条边上的高的交点为,,则实数=。④O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过的<)A、外心B、内心C、重心D、垂心<四)向量与解读几何在解读几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:<1)A、B、C三点共线等价于存在实数,使得<);<2)的重心G的坐标公式为.<3)直线的方向向量是什么?给定两点:,那么,这也就是方向向量,横坐标单位化,得:,也就是说:直线的方向向量是,直线的法向量是.jLBHrnAILg例如:已知为坐标原点,点
8、的坐标分别为,点运动时,满足,<1)求动点的轨迹的方程.<2)设、是轨迹上的两点,若,求直线的方程体验练习题一:一、选择题1.已知平面向量a=,b=,则向量(>A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线5/5C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线2.一质点受到平面上的三个力<单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为(>xHAQX74J0XA.6B.2C.D.3.设P是△ABC所在平面内的一点,,
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