高三数学总复习知识梳理之八：平面向量.doc

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1、高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识<一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量<共线向量）、数乘向量；b5E2RGbCAP基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量：；向量的模<或向量的长度）：；<二）向量的基本运算：1.向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：<1）向量求和的三角形法则：；<2）向量求和的平行四边形法则：；<3）向量求和的多边形法则：；<4）向量减法法则：；结论１在中<加

2、）或<减）称为向量三角形；推广可有，称为封闭折线．<5）数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：；数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：<1）加法交换律：。(2>加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：<1）<2）<3）。如：①在平行四边形ABCD中,已知,,,,试用表示.②如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．2.向量共线的条件：结论2<平行向量基本定理）向量与平行<即共线）的充要条件是存在唯一实数使．特别地，三点共线．3.轴上

3、向量的坐标及其运算：已知轴，取单位向量，对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得，我们称x为向量在轴上的坐标<或数量）。p1EanqFDPw设是轴的一个基向量，向量的坐标为AB，则；若轴为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量的坐标AB=。4.向量的分解：结论3<平面向量基本定理）设是平面上两个不共线向量<称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使．DXDiTa9E3d这里称为向量关于基底的分解式。特别地若，则有①称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②称为中点向量式<为中

4、点）．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成∶的两条线段。②求证三条高相交于一点．5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若是一组单位正交基底，则称是向量在基底下的坐标，记作。<在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设，则有：；；；；6.向量的数量积：结论4两个向量的数量积为，其中为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①；是点到直线<甚至到平面）距离公式推导的根据；②夹角公式；<坐标形式）③即<用于求模）；④；<坐标形式）⑤<某些不等

5、式放缩证明的根据）数量积的运算律：<1）交换律：；<2）数乘律：；<3）分配律：。<请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例：。5/5如：①已知平面上直线l的方向向量=(->，点O(0,0>和点A(1,-2>在l上的射影分别为和，且λ，其中λ=<）RTCrpUDGiTA．B．-C．2D．-2②模公式的应用举例：<1）求证:，其几何意义是。<2）若,则<3）已知,,,则与的夹角为<4）已知中每两个向量夹角都为且,,,求值.7.直线的方向向量，法向量，若再已知定点，而且点，是单位法向量，则点P到直线

6、的距离公式为：。<向量形式）5PCzVD7HxA8.结论５：，称为向量三角形不等式．<三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：坐标，并有性质；2.关于垂心H，有性质；3.关于外心O，有性质；结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉<）线。<如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。如：①已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的

7、积是③设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=。④O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的<）A、外心B、内心C、重心D、垂心<四）向量与解读几何在解读几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：<1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得<）；<2）的重心G的坐标公式为．<3）直线的方向向量是什么？给定两点：，那么，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：，也就是说：直线的方向向量是，直线的法向量是．jLBHrnAILg例如：已知为坐标原点，点

8、的坐标分别为,点运动时，满足，<1）求动点的轨迹的方程．<2）设、是轨迹上的两点，若，求直线的方程体验练习题一：一、选择题1．已知平面向量a=，b=，则向量(>A平行于轴B．平行于第一、三象限的角平分线5/5C．平行于轴D．平行于第二、四象限的角平分线2．一质点受到平面上的三个力<单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为(>xHAQX74J0XA．6B．2C．D．3．设P是△ABC所在平面内的一点，，