圆锥曲线中的动点问题.doc

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1、圆锥曲线中的动点问题1、（安徽理21）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设①再设解得②将①式代入②式，消去，得③又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得故所求点P的轨迹方程为2、（全国新课标理20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B点在直线上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C．

2、（I）求C的方程；（II）P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值．解：(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y），=(0，-3-y)，=(x，-2).再由题意可知（+）• =0，即（-x，-4-2y）• (x，-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.(Ⅱ)设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x因此直线的方程为，即．则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.3、（陕西理17）如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且。（Ⅰ

3、）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）由已知得∵P在圆上， ∴   ，即C的方程为（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为将直线方程代入C的方程，得即∴  ∴线段AB的长度注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。4、（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的

4、标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I）解：设由题意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得椭圆方程为直线PF2方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得解得得方程组的解不妨设设点M的坐标为，由于是由即，化简得将所以因此，点M的轨迹方程是5、（四川理21）椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（I）当

5、CD

6、=时，求直线的方程；（II）

7、当点P异于A、B两点时，求证：为定值。解：（Ⅰ）由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。（直线l垂直于x轴与题意不符）由已知得：，解得的方程为。（Ⅱ）直线l与x轴垂直时与题意不符。设直线l的方程为，所以P点坐标为设，由（Ⅰ）知，直线AC的方程为，直线BD的方程为，将两直线方程联立，消去y得因为，所以异号。又所以异号，同号，所以解得x=-k因此Q点的坐标为（-k，），故为定值。