chapter5-3+Nyquist稳定性判据及稳定裕度1[1].ppt

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1、AutomaticControlTheory课程名称：自动控制原理主讲教师：乔美英河南理工大学电气工程与自动化学院HenanPolytechnicUniversity(HPU)SchoolofElectricalEngineeringandAutomation2021/10/2内容提纲第一章控制系统的一般概念第二章控制系统的数学模型第三章控制系统的时域分析法第四章根轨迹法第五章线性系统频率响应分析第六章线性控制系统的频率特性校正第七章离散控制系统分析与设计3Nyquist稳定判据映射定理(幅角原理)开环含有积分环节Nyquist稳定判据——穿越法Bode图中的Nyquist稳定判

2、据稳定裕度相角裕度幅值裕度重点：奈奎斯特稳定判据、对数频率稳定判据及稳定裕度难点：相对稳定性要求：熟练运用奈奎斯特判据判据确定系统的稳定性；明理稳定裕度的概念，熟练用解析法和图解法计算稳定裕度第3讲Nyquist稳定判据及稳定裕度一、映射定理(幅角定理)F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点s0都可以在F(s)平面上找到一个相应的点F(s0),称为F(s0)在F(s)平面上的映射。s为复变量，以s复平面上的s=δ+jω来表示。F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=u+jv表示。点映射关系，如图1所示。

3、s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图2所示。图1点映射关系图2s平面与F(s)平面的映射关系如果在s平面上任取一条封闭曲线Cs，且要求Cs曲线满足：曲线Cs包围F(s)的Z个零点和P个极点。s平面上的封闭曲线Cs如图3所示。图3映射关系当试验点s1（封闭曲线Cs上任一点）沿闭合曲线Cs顺时针转动一圈时，复变函数F(s)，其矢量总的相角增量为（净相角）矢量总的相角增量为（净相角）：P和Z分别是被封闭曲线Cs包围的特征方程函数F(s)的极点数和零点数。上式表明，当s平面上的试验点s1沿封闭曲线Cs顺时针方向绕行一圈时，F（s）平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z

4、）圈。令R=P-ZR为F(s)平面上封闭曲线逆时针包围原点的次数；也可写成Z=P-R矢量总的相角增量为（净相角）：在F(s)平面上，F(s)是对应于从B点出发又回到B的围线。在s平面上选择一个A点开始，作一条顺时针包围某个零点的围线，其不包围也不通过其它极点和零点。举例说明：设分别是向量沿着围线顺时针绕行一周的相角变化量。考察s沿着围线F(s)的相位变化量为：结论：这表明:曲线从B开始，绕原点顺时针方向转了一圈。若在s平面的顺时针围线内，包围的是某个极点pj，在F(s)平面上，曲线绕原点逆时针方向转了一圈。即[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点(s平面上F(s)的Z

5、个零点和P个极点)的封闭曲线。当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线将以逆时针方向绕坐标原点旋转R圈。R，Z，P的关系为：R=P-Z。若R为正，表示逆时针运动，且包围原点R圈；若R为零，表示不包围原点；若R为负，表示顺时针运动，且包围原点R圈。设系统结构图如图所示，系统的开环传递函数为N(s)和M(s)分别为s的n阶和m阶多项式。闭环传递函数为：二、Nyquist稳定判据辅助函数：注意：F(s)的极点是系统的开环极点，一般是已知的；F(s)的零点是系统的闭环极点其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出

6、稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。辅助方程：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由R判断闭环右极点数。=P-Z这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数R，并将它和开环频率特性相联系？第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特围线。如下图：ⅠⅡⅢ它可分为三部分：Ⅰ部

7、分是正虚轴：Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆Ⅲ部分是负虚轴：F(s)平面上的映射是这样得到的：以代入F(s)并令从变化，得第一部分的映射；在F(s)中取，使角度由，得第二部分的映射；令从，得第三部分的映射。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了R，可求出。当时,系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为　　　因此，有以下结论是明显的：1）F(s)对原点的包围，相当于　对(-1,j