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1、MATLAB作业5参考答案1、试求出下面线性微分方程的通解。假设上述微分方程满足已知条件，试求出满足该条件的微分方程的解析解。【求解】先定义t为符号变量，求出等号右侧的函数，则可以由下面命令求出方程的解析解，解的规模较大，经常能占数页。>>symstexp(-2*t)*(sin(2*t+sym(pi)/3)+cos(3*t))ans=exp(-2*t)*(sin(2*t+1/3*pi)+cos(3*t))>>y=dsolve(['D5y+13*D4y+64*D3y+152*D2y+176*Dy+80*y=',...'exp(-2*t)*(sin(2*t+1/3*pi)+co
2、s(3*t))'],'y(0)=1','y(1)=3','y(pi)=2',...'Dy(0)=1','Dy(1)=2')略：事实上，仔细阅读求出的解析解就会发现，其中大部分表达式是关于系数的，所以如果能对系数进行近似则将大大减小解的复杂度。>>vpa(y)ans=.2465020576e-2*exp(-2.*t)*cos(3.*t)+.6196411086e-1*exp(-2.*t)*sin(2.*t)+.7683355987e-2*exp(-2.*t)*cos(2.*t)-106.2442263*exp(-2.*t)*t^2+98.71615083*exp(-2.*t)
3、*t+59.4325888329709780356*exp(-2.*t)*t^3-30.74428755*exp(-2.*t)+.2465020576e-2*exp(-2.*t)*sin(3.*t)+31.73291254*exp(-5.*t)2、试求解下面微分方程的通解以及满足条件下的解析解。【求解】可以用下面的语句得出微分方程组的通解。>>symst[x,y]=dsolve('D2x+5*Dx+4*x+3*y=exp(-6*t)*sin(4*t)',...'2*Dy+y+4*Dx+6*x=exp(-6*t)*cos(4*t)')解略。将已知初始条件代入，则可以得出下面的
4、特解。>>symst[x,y]=dsolve('D2x+5*Dx+4*x+3*y=exp(-6*t)*sin(4*t)',...'2*Dy+y+4*Dx+6*x=exp(-6*t)*cos(4*t)','x(0)=1','x(pi)=2','y(0)=0')>>vpa(x),vpa(y)解略。1、试求出微分方程的解析解通解，并求出满足边界条件的解析解。【求解】微分方程的通解可以由下面的函数直接求出>>symsxy=dsolve('D2y-(2-1/x)*Dy+(1-1/x)*y=x^2*exp(-5*x)','x')y=exp(x)*C2+exp(x)*log(x)*C1+
5、1/1296*(6*exp(6*x)*Ei(1,6*x)+11+30*x+36*x^2)*exp(-5*x)若需要求取满足边界条件的特解，需要在求解时代入边界条件，这样就可以由下面的语句得出微分方程的特解。>>symsxy=dsolve('D2y-(2-1/x)*Dy+(1-1/x)*y=x^2*exp(-5*x)',...'y(1)=pi','y(pi)=1','x')y=-1/1296*exp(x)*(6*exp(1)*Ei(1,6)+77*exp(-5)-1296*sym(pi))/exp(1)+1/1296*exp(x)*log(x)*(6*Ei(1,6)*exp(
6、6*sym(pi)+6)+77*exp(6*sym(pi))-1296*sym(pi)*exp(6*sym(pi)+5)+3*sqrt(-1)*pi*csgn(sym(pi))*exp(6*sym(pi)+6)-6*Ei(1,6*sym(pi))*exp(6*sym(pi)+6)-3*sqrt(-1)*pi*exp(6*sym(pi)+6)-3*sqrt(-1)*pi*csgn(6*sqrt(-1)*sym(pi))*exp(6*sym(pi)+6)-30*sym(pi)*exp(6)+3*sqrt(-1)*pi*csgn(sym(pi))*csgn(6*sqrt(-1)*
7、sym(pi))*exp(6*sym(pi)+6)-36*sym(pi)^2*exp(6)-11*exp(6)+1296*exp(5*sym(pi)+6))/log(sym(pi))*exp(-6*sym(pi)-6)+1/1296*(6*exp(6*x)*Ei(1,6*x)+11+30*x+36*x^2)*exp(-5*x)由于使用了sym(pi)这样精确的表示，其实还可以用数值解的方法对各个系数进行近似，这样可以得出如下结果。>>vpa(y,10)ans=1.155578411*exp(x)-.97172661
