卡尔曼滤波拟合椭圆在地铁隧道断面监测中的应用.pdf

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1、器轨道交通与地下工程TrackTraffic&UndergroundEngineedng陈明建(重庆建筑工程职业学院，重庆400072)摘要：最dx--乘法拟合椭圆过程中，把所有样本点都当作准确值，但当拟合点中出现噪声和孤立点时，拟合出的椭圆误差较大，而最小平方中值法具有较好的稳健性，但该方法计算量大，计算不方便。针对这种情况，笔者首先使用最小平方中值法拟合出一组椭圆参数，然后利用中位数法剔除孤立点，最后使用卡尔曼滤波方法修正椭圆的参数，通过模拟实例和工程实例，证明该算法能够剔除孤立点，并且拟合出的椭圆具有较小的形状误差，

2、因此该方法可以推广到实际工程中应用。关键词：地铁；隧道断面；卡尔曼滤波；最小二乘法；孤立点；最小平方中值法中图分类号：U456．3文献标志码：B文章编号：1009—7767(2015)04一0056—03ApplicationofKalmamFilteringEllipseFittinginCrossSectionMonitoringofSubwayTunnelChenMingjian地铁隧道在长期运营过程中，受土层压力、荷载等作用极有可能产生形变，这些形变是地铁运行的潜在隐患，因此需要在地铁建成后，对地铁隧道进行定期检测

3、。以获取隧道在外部影响下管片的真实形状和变形信息。隧道断面通常设计为标准的圆面，在外力作用下，近似认为是均匀变形后离心率很小的椭圆【11。一般做法是通过测量隧道断面一周若干个监测点坐标，利用曲线拟合的方法，得到隧道断面的具体形状及参数[21，以便工程诊断。最早的椭圆拟合方法为Fitzgibbon等提出的直接最小二乘法【31，该方法是由最大似然法推出的一个最优估计技术，它假设随机误差呈正态分布，但是该方法受噪声和孤立点的影响较大【4】。最小平方中值法以残差平方的中值取最小值来求解对应的椭圆参数，可排除孤立点影响．稳健性要优于

4、最小二乘法[5】。但当数据点较多时，该方法计算量较大。卡尔曼滤波能够对椭圆观测数据进行递推滤波。同时给出拟合结果的置信区间。但是如果观测值中存在孤立点，卡尔曼滤波将不能得出准确的结果。因此笔者综合使用以上各种方法进行椭圆拟合，即首先使用最小平方中值法拟合出一组椭圆参数，然后使用中位数法剔除孤立点，最后使用卡尔曼滤波修正该椭圆参数。56啼荭故木2015No．4(Jul．)V01．331椭圆拟合原理1．1最小平方中值法原理设平面二次曲线方程为[61：ao+alx+aff'+a3x2+州+∥=o。以(筋，∞)7(扛1，2，⋯，n

5、)表示隧道内测量点的坐标归化到平面内后的坐标。该方法要求残差平方的中值取最小值。满足：med((ao+alxi+。撒+劬z；+伍4髫∞+口新)2)=min。l乓I毫m其中med{a／)为(a。，砚，⋯，％)的中值。l≤l≤／7／,其具体计算步骤如下：1)从待拟合点中随机选取5个点，直接通过解线性方程组的方法求出一组系数A，(％，alj,％，哟，a4j，哟)。2)每个待拟合点对系数Ai组成的曲线方程求残差的平方和，即：V2(i)=(aoy+alj毛+％竹+哟并2‘+％戈iyi+as雳203)求出残差平方和的中间值，即y；=m

6、ed[V2(i)】，重复以上2个步骤m次，得到m个中值，选取其中最小的一个，该残差对应的那组椭圆系数即为所求。1．2中位数法剔除孤立点方法使用最小平方中值法求出椭圆的初始参数之后．可以使用中位数法剔除孤立点，步骤如下[71：1)求出每个拟合点到该曲线的代数距离盔，其中i=1，2，⋯，n；2)对{d。，如，⋯，以)排序，求出中位数y。=med{d，，cf2，⋯，五)，然后利用y。将{d。，如，⋯，枷中心化，中心化的距离序列{d：，d：，⋯，《l=M一7。，如一yl，．”，五一y-)；3)对中心化的距离序列求绝对值，并求其中位

7、数y=med{Id儿呸I，⋯，㈦

8、】；4)根据公式盯=1．482唧‘8】计算椭圆拟合误差的方差or：5)利用30准则剔除孤立点，满足Id0>30"的点，即为孤立点。应予剔除：6)利用最小平方中值法重新计算椭圆参数。重复以上步骤，直至剔除所有的孤立点。1．3卡尔曼滤波方法拟合椭圆原理设向量戈=[口，b，d，e√17表示椭圆参数，则椭圆非线性方程可以描述为[9】：F(x，y)=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey仃。其中a+c=l。令露的估计值为菇，Y的观测值为爹=(z，)，)7，Y的观测值与真实值的偏差为vi，即M=夕一

9、弘，其中vi为高斯白噪声，其协方差矩阵为：C04v,l=RF[吾导】。将F(石，y)=0作线性化展开，有：F(露，夕)+[V。F(露，夕)r(戈—露)+[vy只露，夕)】7(菇—露)=0。对比标准卡尔曼滤波的观测方程zi=鬼x厂露i)=u。偏差观测值zi=一F(露，夕)=一(ozj+2bxiy,+c矿+