解析函数Cantor边界性质差别条件的讨论.pdf

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1、学校代码lQ墨垒2解析函数Cantor边界性质判别条件的讨论r'广11'●●'·■·●^．’上。nedlSCUSSlonab0Utcriterionofcantorboundarybehaviorofanalyticfunction研究生姓名：彭世髦指导教师姓名、职称：董新汉教授学科专业：基础数学研究方向：分形几何与复分析湖南师范大学学位评定委员会办公室二零一一年五月摘要设f(z)在单位圆盘D内解析且连续到边界锄，则f(OD)是局部连通的紧集．而在扩充复平面C。。上，若C∞＼f(oD)=U≥o心为连通分支分解，则m单连通且具有局部连通的边界．如果f-1(a，(D))和f-1(a心)n

2、锄都是Cantor型集合，即锄中的无处稠密集，就称f(z)在D内具有Cantor边界性质，其中心是满足f(D)nwj≠仍的任何连通分支．本文主要研究D内解析函数的Cantor边界性质及相关问题．论文分为两个部分：在第一部分，得到了解析函数具有Cantor边界性质的一个充分条件，同时给出了满足该条件相应的例子．在第二部分，通过一个积分平均的估计，表明了Dong和Lau在文献[18】中所给出的函数具有Cantor边界性质的两个充分条件之间的关系，即这两个充分条件是互相独立的．关键词：Cantor边界性质；无穷Blaschke乘积；Pre-Schwarz导数；积分平均．ABSTRACTLe

3、t，(名)beanalyticintheunitdiskDandhaveacontinuousextensiontotheboundaryOD．Itfollowsthatf(oD)isalocallyconnectedcompactset·LetC气f(OD)=U≥owjbethedecompositionasconnectedcornponems，whereC∞istheRiemannsphere，then心isasimpleconnecteddomainwithlocallyconnectedboundary．Supposethat厂1(a，(D))andf-'(owj)NoDa

4、recantor—typesetsin0D，i．e．，nowheredensesetsin∞，where心isoneofco衄ectedcomponentssuchthat，(D)nwj≠0．Thenwesaythat，(彳)hastheCantorboundarybehavior(CBB、inD．Inthisthesis．westudytheCantorboundarybehaviorofanalyticfunc-tio璐inDandtherelatedproblems．Thepaperconsistsoftwoparts：intheflrstpart，weintroduceane

5、wcriteriaforCBBandanexamplewhichsatisfiesthecriteria．Then，inthesecondpart，wegiveanestimateofintegralmeaIls，andprovethatthetwosufficientconditionsprovidedbyDongandLauareindependent．Keywords：Cantorboundarybehavior；infiniteblaskproduct；pre-Schwarzianderivative；integralmeans．II目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．I英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．II1．绪论1．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)1．2预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(4)1．3主要结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(7)2．一个充分条件及其例子2．1一个充分条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(9)2．2例子⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(12)3．积分平均的估计⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(15)4．结论与展望⋯⋯⋯⋯．j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(21)参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(2

7、3)致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(27)学位论文原创性声明与版权使用授权书解析函数Cantor边界性质的判别条件讨论1．1引言1．绪论“分形竹这一概念最早是在1975年由Mandelbrot提出来的，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则"或“破碎”之意．我们知道，传统几何的研究对象是点、线，面与流形等光滑几何形体，而分形几何的研究对象则刚好相反，它是一门研究不规则几何对象的新兴学科，在此之前，有一些典型的分形集早就为数学家们所