从应力边界条件推求应力函数.pdf

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1、安徽建筑2012年第3期(总184期)从应力边界条件推求应力函数DeduceStressFunctionbyStressBoundaryCondition林国平(宁国华宁建设有限公司，安徽宁国242300)——■●—_gII=I=摘要：对于矩形截面粱，提出了一种依据主要应力边界条件确定应力函数的方法，该方法克服了设定应力函数的盲目性，并通过例题说■■_明了该方法的正确性及应用方法。关键词：弹性力学；应力函数；应力边界条件；平面问题中图分类号：TU317．3文献标识码：B文章编号：1007—7359(2012)03—0175—020前言由于求解偏微分方程的困难，在

2、求解弹性力学平面问题时Pq往往只能采用半逆解法，即根据弹性力学的边界形状和受力情况，先导出或假设应力函数再进而求解。对于矩形截面梁，弹性r．力学教材给出了纯弯曲和简支均布荷载工况下的直角坐标解●／2答。由于纯弯曲和简支均布荷载工况下荷载的特殊性，应力函Z数的假设或导出均比较简单，易懂易学。但学后对于承受复杂／2结荷载工况的矩形截面梁问题往往茫然不知所措，不知应该从何'构设人手推求应力函数。本文提出了一种根据应力边界条件推导应Z，计力函数的方法，并通过几个实例予以说明。与研究1根据应力边界条件推求应力函数的方法应用弹性力学平面问题归结为求解一个双调和方程，即444

3、牛十2+牛=0(1)Ox’。厂ay’其应力分量表达式为(不计体力)222Cry=生譬，譬，一(2)OxOxOy其中，应力函数(y)是、Y的函数，因为方程(1)是偏微分方程，没有通解，所以也就不能写出一个适用于各种受力工Z况的妒(，y)表达式，只能根据弹性体的边界条件和受力情况假设应力函数的函数形式。对于一般的矩形截面浅梁，在梁的主要边界上必须满足应力边界条件，假如上表面上作用分布力为ql0)，则在该边界上存在=ql)，而在下表面上作用分布力为g如)，则在该边界上存在=g舡)，因为是连续的，所以有理由假设的形式如下：=ql∽+g(y)(3)图3其中(y)、∽是待求

4、函数，在下边界上∽=0，在上边界安上=0。这样根据公式(2)中第二个等式积分两次可以求出()的初步表达式，再代人公式(1)求得进一步(，y)的表达徽式，由这个根据公式(2)求出应力分量，代入全部边界条件就应建该得到所求问题的解。对于土木工程所遇到的问题一般把荷载筑收稿日期：2012—03—26简化到上表面，也就是说，上表面上作用分布力为g)，下表面作者简介：林国平(1969-)，男，安徽宁国人，工程师，主要从事道路施工方面的工作。上作用力为q舡)=0，这时，公式(3)变为下式；_2012年第3期(总184期J安徽建筑O'y=g)，【y)(4)口产+B+CyD1对

5、狭长矩形截面梁，亦可假设=Q(5)一嘉=手等一32G)其中Q)为梁截面的剪力√为待求函数。下面举例说明本文所提方法的正确性及其应用方法。边界条件为：(oO，lb^·g，2，=O2示例在=0处，∑=0J(咀o●————_，2——一——_l==例题1：矩形截面梁，在简支均布荷载工况下，求梁内应力———分量使口图1)。∑Y=0f㈦：。咖解答：此例中q)=g，根据上面所述假设应力函数的公式2∑M：0M2I㈥1：0ydy-~(4)，可设(y)，或直接设为o-：f(y)孚，其求解过程在弹性a将、、表达式代入上述边界条件，可求得系数为：力学教材中已有详细解答，在此不再赘述。A

6、=一2g3，B=O，C=3q／2hl，D=-q／2l，F=0，E=-2P／h-q／lOhl，此例亦可由Q)=qU2一qx，根据公式(5)，假设(ql／2一qx)fG=3P／2h+hq／801，故可最终求得梁内应力分量为：∽，或者r∽幔∽进行求解。例题2：如图所示悬臂梁，上边界承受三角线性分布力，端：鲁一2P+击)部承受集中力P，试求梁内应力分量(如图2o解：本例中g)：qx／l，根据上面所述假设应力函数的公式(一击y+争)2(4)，可设=qx／lxJ(y)，或直接设为=xfy)=号，则有务砉)一-肌q-／+3(2／'+击一啬3例题3：如图所示悬臂梁，上边界承受线

7、性分布力，试求梁结菩o．幔∽内应力分量(如图3o构解答：此例中g)=旦L卅g。，根据前面所述假设应力函设将其代人(1)式，即旦等+2一+}=0，得计Oxoxdy与数的公式(4)，可设or=(丑x+q．，或设为o-：xf,∽坼o．，研等+2孕∽+=o究其具体求解过程在此亦不再赘述。因为x是梁长方向的坐标值，在【0，l1区间内连续变化，因应用此，要使上式恒成立，待求函数必须满足：3结论-0'+2_o，=o积分可得(略去中的一次项)：对于矩形截面梁，根据梁主要边界上的受力边界条件可推：A+8+Cy+D求应力分量的形式并进而推导出应力函数，该方法简单易学，∽=一一+聃聃

8、对于弹性力学具有重要参考