高考数学一轮单元复习：第32讲_平面向量基本定理及向量坐标运算

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1、第32讲│平面向量基本定理及向量坐标运算平面向量基本定理及向量坐标运算第32讲│知识梳理知识梳理1．平面向量的基本定理如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．第32讲│知识梳理2．平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上

2、的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)规定：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．(x，y)第32讲│知识梳理3．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝；(2)若A，B，则＝；(3)若a＝(x，y)，则λa＝；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b.(x1±x2，y1±y2)(x2－x1，y2－y1)(λx，λy)x1y2－x2y1＝0探究点1平面向量基本定理应用第32讲│要点探究要点探究例1[2009·湖南卷]如图32－1所示，两块斜

3、边长相等的直角三角板拼在一起，若　　　　　　　　　　　求x，y.第32讲│要点探究【思路】把AD按，　　　　分解．【解答】作DF⊥AB，交AB延长线于F，设AB＝AC＝１BC＝DE＝　　，∵∠DEB＝60°，∴BD＝　　，由∠DBF＝45°，解得DF＝BF＝故x＝1＋　　，y＝.第32讲│要点探究【点评】只要平面内两向量不共线，则平面内任一向量就可以按这两个向量分解，并且这种分解是唯一的．利用这一唯一性既可以求参数，也可以进行证明，如下题：变式题已知P是△ABC所在平面内一点，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为S.证明：只有唯一的一点P使得S与P重合．【思路】要证满足条件的点

4、是唯一的，只需证明向量可用一组基底唯一表示．第32讲│要点探究【解答】证明：设则由题设知由于a，b是平面ABC的基向量，所以　　是唯一的一个向量，即△ABC所在平面内只有唯一的一点P使得S与P重合．探究点2平面向量的坐标运算的应用第32讲│要点探究例2[2009·广东卷]已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【思路】根据a＋b的坐标判断．第32讲│要点探究【解析】Ca＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知C正确．【点评】从向量的坐标可以知道向量的位置和大

5、小，为数形结合做好了准备．有了坐标就可以把向量的有关问题转化为数的计算．如下题：变式题已知向量a＝(2,1)，b＝(1,2)，则

6、a＋λb

7、(λ∈R)的最小值为()A.B.C.D.第32讲│要点探究【思路】把

8、a＋λb

9、(λ∈R)表示为λ的函数．【解析】C∵a＝(2,1)，b＝(1,2)，∴a＋λb＝(2＋λ，1＋2λ)，∴

10、a＋λb

11、＝＝故当λ＝　　时，

12、a＋λb

13、取得最小值　　，选C.探究点3向量共线的坐标表示的应用第32讲│要点探究例3[2009·重庆卷]已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2【思路】利用共线

14、向量的坐标表示进行求解．第32讲│要点探究【解析】D方法一：因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.方法二：因为a＋b与4b－2a平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.【点评】解决向量共线问题时注意方程思想的应用．对于坐标均非零的向量共线，也可以从对应坐标成比例入手，如下题：第32讲│要点探究变式题如图32－2所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求A

15、C和OB交点P的坐标．第32讲│要点探究【解答】方法一：设t(4,4)＝(4t,4t)，则(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)．＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由　　　　共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.∴＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．第32讲│要点探究方法二：设P(x，y)，则　　＝(x，y)，　　＝(4,4)．∵共线，∴4x－4y＝0.①又　　＝(x－2，y－6)，