人教A版2019年高中数学必修5讲义：模块复习精要 复习课（二）数　列_含答案.doc

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1、复习课(二)　数　列等差数列与等比数列的基本运算数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小．1．等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.(3)前n项和公式Sn＝n2＋n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．2．等比数列(1)通项公式：an＝a1

2、qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝(3)等比数列{an}，Sn为其前n项和，则Sn可表示为Sn＝k·qn＋b，(k≠0，且k＋b＝0)．[典例]　成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．[解]　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－

3、d,10,18＋d.依题意，(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，∴b3＝5，公比q＝2，故bn＝5·2n－3.(2)证明：由(1)知b1＝，公比q＝2，∴Sn＝＝5·2n－2－，则Sn＋＝5·2n－2，因此S1＋＝，＝＝2(n≥2)．∴数列是以为首项，公比为2的等比数列．[类题通法]在等差(或等比)数列中，首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a1，d，n，an，Sn或等比数列中的五个

4、量a1，q，n，an，Sn中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用Sn求an时，要注意验证n＝1是否成立．1．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝(　　)A.　　　　　　　　　　B．16C．15D.解析：选A　设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.∴q3＝＝8，即q＝2，∴a1＝＝，则S6＝＝，故选A.2

5、．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，S7＝＝35.联立两式，解得a1＝2，d＝1，∴a7＝a1＋6d＝8.答案：83．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.(1)求证是等差数列，并求Sn；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明：＝＝－1.因为Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝－1，所以是

6、首项为－1、公差为－1的等差数列，所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，故Sn＝－.(2)b1＝＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，bn＝n2－n.所以T1＝－1.当n≥2时，Tn＝－1＋(22＋32＋…＋n2)－(2＋3＋…＋n)＝－1＋(12＋22＋32＋…＋n2)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－1＋n(n＋1)(2n＋1)－n(n＋1)＝－1＋n(n＋1)(n－1)．故Tn＝－1＋n(n＋1)(n－1).等差、等比数列的性质及应用等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及

7、其前n项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小．等差数列的性质等比数列的性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则am·an＝ap·aq特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aam，am＋k，am＋2k，…仍是等差数列，公差为kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比数列，公比为qk若{an}，{bn}

8、是两个项数相同的等差数列，则{pan＋qbn}仍是等差数列若{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则{pan·qbn}仍是等比数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列(q≠－1或q＝－1且k为奇数)若数列{an}项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝若数列{an}项数为2n，则＝q若数列{an}项数为2n＋1，则S奇－S偶＝an＋1，＝若数列{an}项数为2n＋1，则＝q　　[典例]　(1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝1