二面角的平面角不等于两个半平面的法向量夹角.doc

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1、二面角的平面角不等于两个半平面的法向量夹角刘旭海先给出2008年普通高等学校招生全国统一考试文科试题必修+选修I参考答案和评分标准（以下简称参答）第二十题的题目和解答。题目：如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4,点E∈CC1,且C1C=3EC.(Ⅰ)证明：A1C⊥平面BED(Ⅱ)求二面角A1-DE-B的大小解：以D为坐标原点、以从D点出发的3条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz.由题意：B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(0,2,1)、A1(2,0,4),=(0,2,1)、=(2,2,0)

2、、=(-2,2,-4)、=(2,0,4).BCADC1B1D1A1XYZE(Ⅰ)∵=0=0故A1C⊥BDA1C⊥DE又DB∩DE=D∴A1C⊥平面BED(Ⅱ)设向量=(x,y,z)平面DA1E的法向量，则，∴2y+z=02x+4z=0令y=1,则z=2,x=4,=(4,1,-2)<,>等于二面角A1-DE-B的平面角，而cos<,>==故二面角A1-DE-B的平面角=以上就是参答解答。显然是把二面角的两个半平面的法向量的夹角直接认为就是二面角的大小，这是很不准确的。在(Ⅱ)解法中，我们在求平面DA1E法向量的过程中，若把“y=1”换为“”

3、，那么就会得到平面DA1E法向量=（-4，-1，2）。若<,>等于二面角A1-DE-B的平面角，则cos<,>==故<,>=所以二面角A1-DE-B的大小为，其结果和参答是不一致的。问题出在二面角的两个半平面的法向量的夹角不一定就是二面角的平面角，换言之，参答没有进一步讨论二面角的关系就直接认为与法向量夹角相等。其根本原因在于一个平面的法向量有两个相反的方向。下面我们具体就二面角与两个半平面的法向量夹角关系作进一步探讨。设在二面角α -l- β 中，,分别为平面α   、β 的法向量。试确定<,>与二面角α -l- β的平面角的关系。为了

4、研究问题的方便我们分类讨论如下。1.相等型在二面角的平面角与两个半平面法向量构成的四边形中，当法向量夹角是该四边形一个外角时相等(如图1)。αβαβ图1图22.互补型在二面角的平面角与两个半平面法向量构成的四边形中，当法向量夹角是该四边形一个内角或内角对顶角时互补（如图2）。那么究竟是相等还是互补呢？通常结合具体问题能将所求的二面角的平面角与法向量夹角置于同一四边形中研究，从而使问题得到解决。所以，我们不难得出：在二面角的平面角与两个半平面的法向量构成的四边形中，当法向量夹角是该四边形一个外角时相等；当法向量夹角是该四边形一个内角或内角对

5、顶角时互补（读者自己可以证明）。