定轴转动系下的刚体.doc

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1、质心坐标控制方程（拉格朗日方程）设为固定坐标系，为以常角速度转动的转动坐标系，角速度对应的反对称阵。刚体质心在中的坐标，动系到定系的变换矩阵，则质心在固定坐标系中的位置，速度，质心动能和质心坐标控制方程姿态坐标控制方程（虚功原理）离心力刚体相对于动系的姿态参数，设不变，的变分，不管任何姿态参数，总有一个矩阵使得，类似地可以得到变分对应的刚体绕轴转动角度为，随体坐标系下物质点处微元的位移是刚体随体系到的变换矩阵，下的离心力非惯性力为，随体坐标系下的离心力向量为虚功其中可由得到。科氏力坐标系下科氏力非惯性力，物质点处（

2、随体系中质点的位置）的相对动系的相对速度，所以随体坐标系下科氏非惯性力不变，的变分，虚功姿态坐标控制方程所以最终控制方程为系统控制方程刚体角速度在中的表示，控制方程是验证算例静止圆盘模型：绕Z轴，刚体初始为静止，质量1，质心初始离原点距离1，主轴惯量分别为1、2、3，积分精度1E-6。选用原因：刚体质心绕原点的圆周运动是由离心力和科氏力一起决定的。（而且我在程序里分别看了离心力和科氏力的值）。结果：5阶积分，精度1E-6，积分10秒，角速度偏差0（因为转动的广义力为恒为0），XY方向中心偏离分别为-3.322107

3、4017e-003和3.2716097707e-003。若积分精度低些，则偏差来得更快（初步认为是本来是圆周运动，但是2阶插值是抛物线运动，无论几阶插值都得不到圆周运动）。结论：质心的离心力和科氏力正确。纯进动定点转盘xY0X0zyZ0刚体A定点O重力场gX0,Y0,Z0：固定系x,y,z：固连系模型：单位都取为国际单位：kg，N，m，s，rad。重力加速度取为10N/kg，沿z轴负向。初始参数：质心1，0，0，四元数，质心速度0，20，0，四元数导数-21/4，-19/4，19/4，21/4，刚体相对地面角速度，

4、，，，，，，解析解（见杨程本科毕业论文）解析解表现的现象：刚体的角速度为绕着自身z轴作角速度为1转动+绕Z0轴角速度20的转动的和（角速度是可以直接叠加的）。固定系中用THUDynamics建立模型，排除误差影响，上面的现象可以观察到。注：积分参数选用5阶积分(保守系统，如果不用5阶积分则误差会更大)，积分精度设到1E8，刚体七个参数的误差为时间R1R2R3e0e1e2e313.2E-6-1.4E-62.1E-6-1.4E-6-1.1E-61.1E-6-1.2E-6选用原因：纯进动的产生离不开刚体的转动惯量，即离不

5、开与转动相关的非惯性力，如果这个验证正确则能说明转动部分的离心力和科氏力正确。不过这个仍然相对动系是匀速转动……只能验证动系中的转动部分的力为零。但是如果重力加速度（或质量可质心位置）改变数值，导到有进动和章动的同时出现，动系如果是规则进动相对应的转动，则由于章动的存在，刚体角速度在动系中不再是常值，则可以和固系中的模型进行对比。结果：在动系中建模，动系观察到的刚体作绕z轴角速度为1的转动。5秒后误差小于1E-8结论：转动惯量验证正确（动系中看常角速度情形）。进、章动定点转盘将纯定点转盘中的重力加速度改为100，则

6、可观察到明显的章动现象。下图中的值是质心坐标在全局系中的对比，一个是在定系中建模，一个是在绕z轴角速度20的动系中建的模。结论：转动惯量验证正确（一般情形）。建模心德：在有OMEGAFORCE的模型中，GROUND是指转盘，（初始）广义坐标和广义速度都是相对于转盘的，与地面相关的约束都是约束到转盘上的。变转速的转盘：还需要加角加速度对应的非惯性力。注：现在只有6自由度刚体加了OMEGAFORCE，四元数的不难，只是暂时没加。