-高中数学-1.3.2极大值与极小值课件-苏教版选修2-2.ppt

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1、1.3.2极大值与极小值【课标要求】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．【核心扫描】1．函数极值的判定及求法．(重点)2．函数极值的综合应用．(难点)自学导引1．函数极值的概念(1)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝x1的函数值f(x1)比它在点x＝x1附近其他点的函数值都大，f′(x1)＝0；而且在点x＝x1附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把点叫做函数y＝f(x)的极大值点，叫做函数y＝f(x)的极大值．＞＜x1

2、f(x1)(2)极小值点与极小值．若函数y＝f(x)在点x＝x2的函数值f(x2)比它在点x＝x2附近其他点的函数值都小，f′(x2)＝0；而且在点x＝x2附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.就把点叫做函数y＝f(x)的极小值点，叫做函数y＝f(x)的极小值．(3)极大值点与极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值．＜＞f(x2)x2想一想：极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有什么关系？提示曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负，曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．名师

3、点睛1．极值的概念(1)极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2．设函数f(x)在x0处连续，且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x

4、0)是极大值．(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值．3．理解极值概念需注意的几点(1)函数的极值是函数的局部概念，仅考虑该点与附近的点之间的大小关系，而不是在所给的整个区间或定义域范围内进行比较，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值．(2)可导函数的极值点一定是其导数为零的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这个点两侧的导数异号．举例如下：导数为0是极值点：f(x)＝x2，

5、f′(0)＝0，x＝0是极小值点；导数为0但不是极值点：f(x)＝x3，f′(0)＝0，x＝0不是极值点.题型一　求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝x3(x－5)2.[思路探索]原函数求导→解方程y′＝0→判断导数为零的点的两侧符号→判断极值点→求极值解(1)y′＝6x2＋12x－18，令y′＝0，解得x1＝－3，x2＝1.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗57↘－7↗∴当x＝－3时，y有极大值57；当x＝1时，y有极小值

6、－7.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.x(－∞，0)0(0,3)3(3,5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗108↘0↗求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)由f′(x)的根顺

7、次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格；检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右符号相同，那么f(x)在这个根处无极值．下面分两种情况讨论：(1)当f′(x)>0，即x>2，或x<－2时；(2)当f′(x)<0，即－2

8、下表：由上表可以看出，当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝4e－2.当x＝0时，函数有极小值为f(0)＝0.x(－∞，－2)－2(－2,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋