人教A版2019年高中数学选修2-3教学案：2.4 正态分布_含解析.doc

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1、预习课本P70～74，思考并完成以下问题1．什么是正态曲线和正态分布？2．正态曲线有什么特点？　3．正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？　　　　　　1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状

2、由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．[点睛]　正态曲线φμ，σ(x)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X)去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2．正态分布(1)如果对于任何实数a，b(a

3、值的概率(1)P(μ－σ

4、ξ～N(μ，σ2),且P(ξ≤c)＝P(ξ＞c),则c等于(　　)A．0B．σC．－μD．μ答案：D正态曲线及其性质[典例]　某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析]　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙

5、、丙．故选A．[答案]　A利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ．(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ．(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．　　　　　　[活学活用]若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以＝，解得σ＝4．故函数的解析式为φμ，σ(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)．利用正态分布的对称性求概率[典例]　设

6、X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2．(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0．6826．(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3

7、线与x轴之间面积为1．(2)熟记P(μ－σc＋1)＝P(X

8、)求P(－