高阶导数公式.ppt

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1、第六节高阶导数公式一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考1一、问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?2二、主要定理定理证3根据导数的定义,从柯西积分公式得456再利用以上方法求极限7至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而

2、在于通过求导来求积分.8三、典型例题例1解910根据复合闭路定理1112例2解1314例3解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得1516课堂练习答案17例4解18根据复合闭路定理和高阶导数公式,1920例5(Morera定理)证依题意可知21参照本章第四节定理二,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,22例6证不等式即证.23四、小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式24思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函

3、数的导数与实函数的导数有何不同?25思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按Esc退出.26解析函数积分计算方法：1.柯西积分定理（不定积分）2.复合闭路原理3.柯西积分公式4.高阶导数公式一般函数积分计算方法:1.定义（参见P53）性质(参见P54）公式（参见P55（3.1.9）式）4.公式（参见P56（3.1.10）式）27解析函数的重要特征：1.区域内部的值可用边界上的值的积分来表示(参见柯西积分公式).2.有任意阶导数(参见高阶导数定理).28作业：P798.(2)(3)(7)(8)(9).12.2

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