线性代数1-2行列式的定义.ppt

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1、第1-2节排列及行列式的定义一、排列及其逆序数1.n级排列例1532145级排列；452381768级排列；例3、5阶排列31524中，31，32，52，54都构成一个逆序。2.逆序【定义】在n阶排列中，如果某两个数的前后位置与它们的大小相反，即前面的数大于后面的数，则称这两个数构成一个逆序。计算逆序数的方法:分别计算出排列中每个元素后面比该元素小的数的个数，然后求和。即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和就是该排列的逆序数。3.逆序数排列的逆序数记为。【定义】一排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。例4（1）排列31425的逆序数为：τ(31425)=2+0+1+0+0=3；

2、（2）自然排列123•••n的逆序数是0；（3）排列n(n–1)•••21的逆序数为：例5求排列的逆序数。解：故：4.奇偶性【定义】逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。【定义】在n阶排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这样作出新排列的过程叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如：5.对换对换与排列的奇偶性的关系：【定理1】任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性发生改变。证明：先考虑相邻对换，设排列为：对换与除外，其它元素的逆序数不改变。当时：的逆序数不变；经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1。当时：因此对换相邻两个元素，排列改变奇

3、偶性。设排列为：现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变其奇偶性。【推论】奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列(逆序数为0)，因此，推论成立.【定理2】在所有的n级排列中，奇偶排列各占一半。分析三阶行列式：（1）三阶行列式共有6项，即3!项；（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积；二、n阶行列式的定义（3）每项的正负号都取决于三个元素的列下标的排列。例如：列下标排列312的逆序数为：偶排列“+”正号；列下标排列132的逆序数为：奇排列“–

4、”负号。即：2、行列式表示一个特定的数，它是n行n列的表中所有位于不同行、不同列的n个元素乘积的代数和。共有项求和。4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆；【注】3、求和项中的行排列总是按自然次序排列的，且该项的符号取决于列排列的逆序数，即为：5、不能将二阶及三阶行列式的对角线法推广四阶(或更高阶）行列式！(+)(–)若按前面对角线法，则只考虑了其中的8项，而4阶行列式应该有24项。例如：4阶行列式：例8下列乘积项中，哪些可以构成相应阶行列式中的项？解1）不能构成。2）可以构成。重排为：因为故该项符号为正，可以构成6阶行列式中的项。例9计算4阶行列式乘积项中有两个第1列的元素；解先求所有乘积

5、项再求其代数和，得：D=56-98-36+84-72+96-60+105+50-140+100用定义计算n阶行列式时，共需(n-1)·n!次乘法。再求代数和需n!-1次加减法。当n=24时，所需的乘法次数约为：这是一个天文数字，由此：利用原始定义计算一般的高阶行列式几乎是不可能的。-160+54-126-70+196-120+144-54+72+70-112-60+72=-9解：乘积项：例10、计算下三角行列式故注意：主对角线的右上方的元素全为零。0上三角行列式对角行列式类似地有：000解：乘积项：例11、计算下三角行列式注意：次对角线的左上方的元素全为零。故：0类似地有：000解：含x4

6、的有一项：例12、已知则x4的系数为,x3的系数为。含x3的有两项：故x4的系数为10，x3的系数为–5。【注】n阶行列式也可以按照如下方式定义：表示对所有的行排列i1i2…in求和。特点：列排列总是按自然次序排列，且各项的符号取决于行排列的逆序数。【注】n阶行列式还可以按照如下方式定义：特点：行排列与列排列随意排，各项的符号取决于行排列的逆序数与列排列的逆序数之和。（共有n!项求和）