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1、最小二乘法公式 最小二乘法公式 ∑(X--X平)(Y--Y平) =∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平) =∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平 ∑(X--X平)^2 =∑(X^2--2XX平+X平^2) =∑X^2--2nX平^2+nX平^2 =∑X^2--nX平^2 最小二乘公式（针对y=ax+b形式）： a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2) b=y(平均)-ax（平均） 最小二乘法 在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时，通常可以得到一
2、系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm,ym)；将这些数据描绘在x-y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计=a0+a1X(式1-1) 其中：a0、a1是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi-Y计)2〕最小为“优化判据”。 令:φ=∑(Yi-Y计)2(式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ=∑(Yi-a0-a1Xi)2(式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时
3、，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即： ma0+(∑Xi)a1=∑Yi(式1-6) (∑Xi)a0+(∑Xi2)a1=∑(Xi,Yi)(式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0=(∑Yi)/m-a1(∑Xi)/m(式1-8) a1=[∑XiYi-(∑Xi∑Yi)/m]/[∑Xi2-(∑Xi)2/m)](式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点
4、(x1,y1、x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0越好。 R=[∑XiYi-m(∑Xi/m)(∑Yi/m)]/SQR{[∑Xi2-m(∑Xi/m)2][∑Yi2-m(∑Yi/m)2]}(式1-10)＊在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中,我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据,可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,这种函数关系称为经验公式
5、.本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式.假定实验测得变量之间的个数据,,…,,则在平面上,可以得到个点,这种图形称为“散点图”,从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁,我们认为与之间近似为一线性函数,下面介绍求解步骤. 考虑函数,其中和是待定常数.如果在一直线上,可以认为变量之间的关系为.但一般说来,这些点不可能在同一直线上.记,它反映了用直线来描述,时,计算值与实际值产生的偏差.当然要求偏差越小越好,但由于可正可负,因此不能认为总偏差时,函数就很好地反映了变量之间的关系,因为此时每个偏差的绝对值可能很大.为了改进这一缺陷,就考虑用
6、来代替.但是由于绝对值不易作解析运算,因此,进一步用来度量总偏差.因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大.于是问题归结为确定中的常数和,使为最小.用这种方法确定系数,的方法称为最小二乘法. 由极值原理得,即 解此联立方程得 (*) 问题I为研究某一化学反应过程中,温度℃)对产品得率(％)的影响,测得数据如下: 温度℃) 100110120130140150160170180190 得率(％) 45515461667074788589 (1)利用“ListPlot”函数,绘出数据的散点图(采用格式:ListPlot[{,,…,},Prolog->Absol
7、utePointSize[3]]); (2)利用“Line”函数,将散点连接起来,注意观察有何特征?(采用格式:Show[Graphics[Line[{,,…,}]],Axes->True]); (3)根据公式(*),利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序,求经验公式; (程序编写思路为:任意给定两个集合A(此处表示温度)、B(此处表示得率),由公式(*)可定义两个二元函数(集合A和B为其变量)分别表示和.集合A元素求和:Apply[Plus,A]表示将加法施加到集合A
