传热学教学课件第四章 导热问题的数值解法1.ppt

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1、第四章导热问题的数值解第四章导热问题的数值解法数值解法是求解复杂导热问题的主要方法数值解法主要包括有限差分法、有限元法和边界元法本章重点介绍有限差分法第一节导热问题数值解法的基本思想及内节点离散方程的建立对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些点的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。这一基本思想可用求解过程的框图来表示，其图为建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散

2、化）建立节点物理量的代数方程建立温度场的迭代初值求解代数方程解的分析是否收敛？是否改进初场导热问题数值求解的一般步骤建立所研究问题的控制方程及定解条件区域离散化建立节点物理量的代数方程设立迭代初场求解代数方程组对解进行分析二维稳态导热问题研究实例物理模型控制方程定解条件xy0物体的离散xy区域离散xy用一组平行于坐标轴的直线（网格线）将研究区域划分为若干份；网格线的交点为节点；物体内部的节点称为内节点，边界上的节点称为外节点；两节点之间的距离称为步长；给节点编号用m表示x方向的位置，n表示y方向的位置，各节点的位置如图；每个节点均代表一个元体，如（m，n）节点

3、代表图中虚线所示的元体；xym,nm+1,nm-1,nm,n-1m,n+1建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程有两种方法1.泰勒级数（Taylor）展开法2.热平衡法代数方程组求解代数方程组的求解方法有两种：1.直接求解法2.迭代求解法在传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用此法求解时需要对被求的温度场预先假定一个解，称为初场，并在求解过程中不断改进。对解进行分析获得物体中的温度分布常常不是工程问题的最终目的，所得出的温度场可能进一步用于计算热流量或计算设备、零部件的热应力及热变形等。对于数值计算所获得的温度场及所需要的一些其他物理量应作仔细的

4、分析，以获得定性或定量上的一些新的结论。建立节点方程的泰勒级数展开法函数的泰勒级数展开式为对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数对(m,n)点的泰勒级数展开式+二阶导数的差分表达式x方向的二阶导数差分表达式y方向的二阶导数差分表达式上述差分格式称为中心差分格式二维稳态导热内部节点的节点方程建立控制方程节点方程用热平衡法建立内部节点方程采用这种方法时，对每个节点所代表的元体建立能量平衡关系式，即可得到该节点的节点方程式。此时把节点看成是元体的代表。通过元体的界面所传导的热流量可以对有关的两个节点应用傅立叶定律写出。而且根据能量守恒定律，对于没有内热源稳

5、态导热，从各个方向进入元体的导热量之和为零。二维稳态导热内部节点方程式的建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+1二维稳态导热内节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零将各热量计算表达式带入，整理后得到上式即为二维稳态没有内热源导热问题的内节点方程二维稳态导热平直边界上节点方程的建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,n-1m,nm-1,nm,n+1二维稳态导热平直边界

6、上节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零将各热量计算表达式带入，整理后得到外角点节点方程建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,nm-1,nm,n-1外角点节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零将各热量计算表达式带入，整理后得到内角点节点方程建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+1内角点节点方程当物体内没有内热源时，根据能

7、量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零即将各热量计算表达式带入，整理后得到