概率论与数理统计电子教案：MC7_2 估计量的优良性准则.ppt

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1、29-八月-21§7.2估计量的优良性准则在众多的估计量中选哪一个更好？选取的标准是什么？如X~U(0,θ),θ的矩法估计量为，对于总体的参数，可用各种不同的方法去估计它，因此一个参数的估计量不唯一.三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.极大似然估计量为定义：设是未知参数θ的估计量，若，则称为θ的无偏估计.S2是σ2的无偏估计注意1.无偏性θAk是μk的无偏估计量无偏估计量的不唯一性2.有效性思考：下列估计量是否为μ的无偏估计量？哪个更好？结论1)样本的k阶原点矩是总体k阶原点矩的无偏估计量。2)一个未知参数可有不同的无偏估计量。可见，一个参数的无偏估计可以有很多.无偏估计只能保证

2、估计无系统误差：希望　的取值在θ及其附近越密集越好，其方差应尽量小.θ是未知参数θ的两个无偏估计量,若对θ的所有可能取值都有称为θ的最小方差无偏估计量.设是θ的无偏估计，如果对θ的任何一个无偏估计量都有证明无偏性并判断其有效性(1)证明无偏性并判断其有效性(2)和S2分别是μ和σ2的最小方差无偏估计!29-八月-213.相合性无偏性：反映估计量相对待估参数有无系统偏差.有效性：在无偏类中反映估计量相对待估参数的偏离程度.问题：在“偏差性”和“离散性”两者兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.例7.2.529-八月-21定义设是未知参数θ的估计量，若对任意的ε>0，有则称为θ的相合估

3、计量.相合估计量的证明(1)相合估计量的证明(2)29-八月-21是μ的相合估计量;S2和M2都是σ2的相合估计量.部分证明29-八月-21证明S2是σ2的无偏估计量例7.2.2设总体的方差D(X)=σ2>0，则样本方差S2是σ2的无偏估计.证29-八月-21#例1.证明：设总体X的k阶原点矩μk存在，则样本的k阶原点矩Ak为μk的无偏估计。#证明：#证明：均为总体X的数学期望E(X)=μ的无偏估计量。例2.证明：29-八月-21例3设总体X~U[0,θ],θ>0未知,(X1，X2，X3)是取自X的一个样本试证都是θ的无偏估计；2)上述两个估计量中哪个的方差最小？分析：要判断估计量

4、是否是无偏估计量，需要计算统计量的数学期望.29-八月-21证1)先求X与Y的概率密度函数，已知分布函数29-八月-2129-八月-2129-八月-21#29-八月-21例4证明是无偏估计量，是其中最有效估计量.证利用拉格朗日乘数法求条件极值，令线性无偏估计量类29-八月-21从联立方程组解得，29-八月-21即函数的最小值点是#—最小方差线性无偏估计量.29-八月-21例5设X~U(0,θ),θ的矩法估计量为，极大似然估计量为.有偏估计量29-八月-21#29-八月-21分析1)证明相合性常用到切比雪夫不等式;2)这里计算方差较难,可以先化为2分布,再利用卡方分布的性质计算.例

5、6设X~N(0,σ2),证明是σ2的相合估计量.证29-八月-21由切比雪夫不等式，有29-八月-21#是σ2的相合估计量.29-八月-21例7设总体X的k阶原点矩E(Xk)存在,证明样k阶原点矩是其无偏、相合估计量.证样本构成的随机变量序列X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布，服从辛钦大数定理，对任给的ε＞0，有29-八月-21#29-八月-21例8设总体X的数学期望存在,估计量,是μ=E(X)的无偏、相合估计量.证样本构成的随机变量序列X1，X2,…，Xn,…相互独立同分布，服从切比雪夫大数定理，对任给的ε＞0，有即为E(X)的相合估计量.#29-八月-21反例设总体的方差D

6、(X)=σ2>0，有#若θ的实函数g(θ)的无偏估计量存在，称g(θ)是可估计函数.