高中数学课时跟踪检测十二抛物线的简单几何性质含解析新人教A版选修1.pdf

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1、课时跟踪检测（十二）抛物线的简单几何性质层级一学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11xB．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x解析：选C在方程2x－4y＋11＝0中，11令y＝0得x＝－，211∴抛物线的焦点为F－，0，2p11即＝，∴p＝11，22∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴

2、过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)解析：选B设A(x，y)，则y2＝4x，①又OA＝(x，y)，AF＝(1－x，－y)，所以OA·AF＝x－x2－y2＝－4．②由①②可解得x＝1，y＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213B．215C．217D．219

3、解析：选B设A(x，y)，B(x，y)．1122由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2．y2＝8x，由得x2－4x＋1＝0，y＝－2x＋2，∴x＋x＝4，x·x＝1．1212∴

4、AB

5、＝＋k2x＋x2－4xx]1212＝＋－＝5×12＝215．5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()3393A．B．48639C．D．324333解析：选D易知抛物线中p＝，焦点F，0，直线AB的斜率k＝，故直线AB的24333219方程为y＝x－，代

6、入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x，y)，B(x，3421611221213y)，则x＋x＝．由抛物线的定义可得弦长

7、AB

8、＝x＋x＋p＝＋＝12，结合图象可得21221222p319O到直线AB的距离d＝·sin30°＝，所以△OAB的面积S＝

9、AB

10、·d＝．28246．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x＋x12x＋x＝6，12＝3，2y＋yx＋x－26－2∴12＝12＝＝2．222∴所求点的坐标为(3,2)．

11、答案：(3,2)7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x，y)，B(x，y)，若

12、AB

13、＝7，则1122AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知

14、AB

15、＝

16、AF

17、＋pp

18、BF

19、＝x＋＋x＋＝x＋x＋p，即x＋x＋2＝7，得x＋x＝5，于是弦AB的中点M的横12221212125坐标为．257因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．227答案：28．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B

20、AF

21、两点(点A在y轴左侧)，则＝_

22、_______．

23、FB

24、p3p解析：由题意可得焦点F0，，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，23233132B两点的横坐标为x＝－p，x＝3p，故A－p，p，B3p，p，所以

25、AF

26、＝p，

27、BF

28、A3B3623

29、AF

30、1＝2p，所以＝．

31、BF

32、31答案：39．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P(x，y)，P(x，y)．111222∵P，P在抛物线上，∴y2＝6x，y2＝6x．121122两式相减得(y＋y)(y－y)＝6(x－x)．①121212y－

33、y∵y＋y＝2，代入①得k＝21＝3．12x－x21∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若

34、AF

35、＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x，y)，B(x，y)．1122p(1)由抛物线的定义可知，

36、AF

37、＝x＋，从而x＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y＝±23．1211∴点A的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1

38、)．与抛物线方程联立，y＝kx－，得消去y，整理得y2＝