高中数学课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质（含解析）新人教A版选修

《高中数学课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质（含解析）新人教A版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一　学业水平达标1．下列双曲线中离心率为的是(　　)A．－＝1　　　　　　B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B　由e＝得e2＝，∴＝，则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4解析：选A　令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．3．

2、双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析：选B　由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝＝＝1－．又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－120，b>0)，由题意知c＝

3、3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)A．B．2C．D．解析：选D　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则

4、BM

5、＝

6、AB

7、＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为．∵M点在双曲线上

8、，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝．故选D．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得

9、解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．答案：－y2＝17．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线－＝1的右顶点A

10、(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B．所以S△AFB＝

11、AF

12、

13、yB

14、＝(c－a)·

15、yB

16、＝×(5－3)×＝．答案：9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双

17、曲线定义知

18、PF

19、－

20、PF1

21、＝2，所以

22、PF

23、＝

24、PF1

25、＋2，从而△APF的周长＝

26、AP

27、＋

28、PF

29、＋

30、AF

31、＝

32、AP

33、＋

34、PF1

35、＋2＋

36、AF

37、．因为

38、AF

39、＝＝15为定值，所以当(

40、AP

41、＋

42、PF1

43、)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12．10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0

44、)的离心率为，且＝．(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：(1)由题意得解得所以b2＝c2－a2＝2．所以双曲线C的方程为x2－＝1．(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．因为点M(x0，