浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测九双曲线的简单几何性质新人教A版选修

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1、课时跟踪检测（九）双曲线的简单几何性质层级一　学业水平达标1．下列双曲线中离心率为的是(　　)A．－＝1　　　　　　B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B　由e＝得e2＝，∴＝，则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4解析：选A　令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．3．双曲

2、线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析：选B　由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝＝＝1－．又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－120，b>0)，由题意知c＝3，a2

3、＋b2＝9，8设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1．5．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1解析：选A　C1的焦点为(±，0)，C2的焦点为(±，0)，∵C1与C2的焦点重合，∴

4、＝，∴m2＝n2＋2，∴m2＞n2.∵m＞1，n＞0，∴m＞n.∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，∴e1e2＝·＝＝＝＝＞＝1.6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图

5、)．8∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．答案：－y2＝17．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且＝0，△F1PF2的内切圆半径r＝2a，则双曲线的离心率e＝________.解析：可设P为第一象限的点，由双曲线的定义可得

6、PF1

7、－

8、PF2

9、＝2a，①＝0，可得PF1⊥PF2，由勾股定理可得

10、PF1

11、2＋

12、PF2

13、2＝

14、F1F2

15、2＝4c2，②②－①2，可得2

16、PF1

17、·

18、PF2

19、＝

20、4c2－4a2＝4b2，即有

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝，由三角形的面积公式可得r(

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、＋

29、F1F2

30、)＝

31、PF1

32、·

33、PF2

34、，即为2a(＋2c)＝2b2，整理得：c2－4ac－5a2＝0，解得c＝5a(c＝－a舍去)，即有e＝＝5.答案：58．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入

35、双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，8所以B．所以S△AFB＝

36、AF

37、

38、yB

39、＝(c－a)·

40、yB

41、＝×(5－3)×＝．答案：9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知

42、PF

43、－

44、PF1

45、＝2，所以

46、PF

47、＝

48、PF1

49、＋2，从而△APF的周长＝

50、AP

51、＋

52、

53、PF

54、＋

55、AF

56、＝

57、AP

58、＋

59、PF1

60、＋2＋

61、AF

62、．因为

63、AF

64、＝＝15为定值，所以当(

65、AP

66、＋

67、PF1

68、)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，由得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12．10．已知双曲线C：－＝1(a>