化繁为简------以退为进.doc

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1、化繁为简以退为进——道中考题引发的反思笔者去年参加中考的监考，数学试卷（2003年宁德市数学中考试卷）有这样一道题：图①有一个长方形，图②有3个长方形，图③有＿＿＿个长形，图④有＿＿个长方形，图⑤有＿＿个长方形，图⑥有＿＿　个长方形。这其实是数线段的类比题，小学阶段早已接触过。可是纵观本考室的30份试卷，此题正确率还没有达到15%。即使有些考生做对了，从监考中，笔者发现这些考生也是费了九牛二虎之力才硬数出来的。考后了解一部分学生：考生①这道题的规律太难找了，简直无从下手；考生②图③、图④、图⑤我是硬数出来的，分别是6、10、15个，图⑥实在没有办法数；考生③我是这样想的，图①1个长方形，

2、图②3个长方形，图③就是5个长方形，同理，图④7个长方形，图⑤9个长方形，长方形的个数是呈奇数排列的。这不禁引起了我的反思，学生没有掌握相应的解题策略，寻找不到解题的突破口，以致于无规律地数、瞎蒙，既费时又得不出正确结果。那么如何避繁就简，把复杂的问题转化为一个简单的问题，以解决较弱问题作为跳板，引导问题解决呢？笔者以为引导学生运用“退”的策略，探索蕴含规律，是解决这类题的关键。正如，我国著名数学家华罗庚所说：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍!下面例举数例加以说明。例1：以上题为例，要数出图⑥有多少个长方形，这几乎是不可能的，因为题目只告

3、诉我们把这个长方形分成n份,这n份是个未知数,怎么数？因此，我们只能从图①至图⑤中长方形个数入手寻找规律。题中已告诉我们图①是1个长方形，图②是3个长方形，再数出图③长方形个数，按1个小格□数有3个，按2个小格□□数有2个，按3个小格□□□数有1个，共有3+2+1=6个。同理，数出图④有4+3+2+1=10个长方形,图⑤有5+4+3+2+1=15个长方形。为了便于观察规律，将分析情况列表如下:由此推出，图⑥分成n份的长方形个数等于1+2+3+4+5+6+7…+（n-1)+n，根据等差数列的计算公式，可得图⑥的长方形个数为。例２：计算99…9×99…9+99…9的末尾有＿＿个零。这样的题目

4、，如果直接计算要有非常高的解题技巧，就算是引导学生运用乘法分配率解答，多数学生也是无法写出解题过程，得出正确答案。对于这么大的数计算，我们可采用“退”的策略。即从小一点的数入手，算出结果后，再做较大一点的，算出后，又做稍大一点的，看看有什么规律出现。如果没有发现规律，继续做更大一点的数，直至最后发现规律找到问题的答案。这样化复杂为简单，问题便迎刃而解，就算是学困生，也能轻易接受。为了便于比较，列表分析如下：由此得出：99…9×99…9+99…9的末尾有2004个零。例3：如下图所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最好切成4块，切3刀最多切成7块，……问切12刀最多切成多少块？切n刀

5、最多切成多少块？此题如果直接画图求解，难度非常大，12条切线互相交错，搞得眼花缭乱，很难达到目的。如果引导学生应用“退”的策略，从最简单情况着手研究，探索蕴含规律，便可获得巧解。列表分析如下：由此可得：（1）把一块大饼切12刀时，最多的块数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=79（块）；（2）把一块大饼切n刀时，最多的块数是：1+1+2+3+4+5+…+（n-1）+n=+1(块)例4：用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成两个五位数使它们的积最大，其中每个数字都要用上。面对这样复杂的问题，我们可以先讨论一个简单而又不改变原来问题实质的较弱的问题：

6、用0、1、2、3四个数字组成两个两位数，使它们的积最大。显然，十位数字应取大的数字3和2，这样得到的两位数有两种可能：31和21，或者31和20。不难验证，30×21＞31×20。进一步探究以上不等式成立的依据。两对数的和相等，都是51，但前一对数相差9，后一对数相差11，即前一对数比后一对数的差小。因此我们可以猜测，如果两个数的和相等，它们相差越小，积越大。接着举例验证猜想，用2、3、4、5四个数字组成两个两位数，使它们的积最大。同理，可得52×43＞53×42，又如85×76＞86×75，这就证明了上面的猜想是正确的。其实还可以运用“周长相等的长方形，长与宽的长度越接近，面积就越大”

7、这一规律进行验证。于是按要求逐一搭配各数，注意从千位上开始添加的数与第一个数的和，两组数要分别相等（即9+6=8+7、9+4=8+5、9+2=8+3、9+0=8+1）。由此求得两个五位数分别是96420和87531。