数列解题技巧归纳总结-打印.pdf

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1、精品文档等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列a的首项a0，公差d0，则前n项和S有最大值。n1na0（ⅰ）若已知通项a，则S最大n；nna0n1q（ⅱ）若已知Spn2qn，则当n取最靠近的非零自然数时S最大；n2pn2、若等差数列a的首项a0，公差d0，则前n项和S有最小值n1na0（ⅰ）若已知通项a，则S最小n；nna0n1q（ⅱ）若已知Spn2qn，则当n取最靠近的非零自然数时S最小；n2pn数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。S,(n1)⑵已知S（即aa

2、Laf(n)）求a，用作差法：a1。n12nnnSS,(n2)nn1f(1),(n1)已知agagLgaf(n)求a，用作商法：af(n)。12nnn,(n2)f(n1)⑶已知条件中既有S还有a，有时先求S，再求a；有时也可直接求a。nnnnn⑷若aaf(n)求a用累加法：a(aa)(aa)L(aa)n1nnnnn1n1n221a(n2)。1aaaa⑸已知n1f(n)求a，用累乘法：ann1L2a(n2)。annaaa1nn1n21⑹已知递推关系求a，用构造法（构造等差、

3、等比数列）。n特别地，（1）形如akab、akabn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转nn1nn1化为公比为k的等比数列后，再求a；形如akakn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数nnn1列后，再求a。na（2）形如an1的递推数列都可以用倒数法求通项。nkabn1（3）形如aak的递推数列都可以用对数法求通项。n1n（7）（理科）数学归纳法。1欢迎下载。精品文档a（8）当遇到aad或n1q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段n1n1an1一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由

4、递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为a=a+d及a=qa（d，q为常数）n+1nn+1n例1、已知{a}满足a=a+2，而且a=1。求a。nn+1n1n例1、解∵a-a=2为常数∴{a}是首项为1，公差为2的等差数列n+1nn∴a=1+2（n-1）即a=2n-1nn1例2、已知{a}满足aa，而a2，求a=？nn12n1n（2）递推式为a=a+f（n）n+1n11例3、已知{a}中a，aa，求a.n12n1n4n21n1111解：由已知可知aa()n

5、1n(2n1)(2n1)22n12n1令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a-a）+（a-a）+…+（a-a）2132nn-1114n3aa(1)n122n14n2★说明只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由a=a+f（n）以n=1，2，…，n+1n（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a。n(3)递推式为a=pa+q（p，q为常数）n+1n例4、{a}中，a1，对于n＞1（n∈N）有a3a2，求a.n1nn1n解法一：由已知递推式得a=3a+2，a=3a+2。两式相减：a-

6、a=3（a-a）n+1nnn-1n+1nnn-1因此数列{a-a}是公比为3的等比数列，其首项为a-a=（3×1+2）-1=4n+1n21∴a-a=4·3n-1∵a=3a+2∴3a+2-a=4·3n-1即a=2·3n-1-1n+1nn+1nnnn解法二：上法得{a-a}是公比为3的等比数列，于是有：a-a=4，a-a=4·3，a-a=4·32，…，a-a=4·3n-2，n+1n213243nn-1把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-12。欢迎下载精品文档(4)递推式为a=pa+qn（p，q为常数）n+1n22b11bb(bb)由上题的解法，得

7、：b32()n∴an3()n2()nn1n3nn1n3n2n23(5)递推式为apaqan2n1n思路：设apaqa,可以变形为：aa(aa)，n2n1nn2n1n1n想于是{a-αa}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。n+1n求a。n(6)递推式为S与a的关系式nn3。欢迎下载精品文档关系；（2）试用n表示a。n11∴SS(aa)()n1nnn12n22n1111∴aaa∴aan1nn12n1n12n2n上式两边同乘以2n+1得2n+1a=2na+2则{2na}是公差为2的等差数列。n+1nn∴2n

8、a=2+（n-1）·2=2nn2．数列求和问题的方法（1）、应用公