数列解题技巧归纳总结-打印资料

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1、数列解题技巧归纳总结等差数列前项和的最值问题：1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。（ⅰ）若已知通项，则最大；（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（ⅰ）若已知通项，则最小；（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。⑶已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。⑷若求用累加法：。⑸已知求，用累乘法：。⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的

2、递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。7数列解题技巧归纳总结（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）例1、 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1

3、=1。求an。例1、解 ∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列∴an=1+2（n-1）即an=2n-1例2、已知满足，而，求=？（2）递推式为an+1=an+f（n）例3、已知中，，求.解：由已知可知令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）★说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）例4、中，，对于n＞1

4、（n∈N）有，求.解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-17数列解题技巧归纳总结(4)递推式为an

5、+1=pan+qn（p，q为常数）由上题的解法，得：∴(5)递推式为思路：设,可以变形为：，想于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求。7数列解题技巧归纳总结(6)递推式为Sn与an的关系式关系；（2）试用n表示an。∴∴∴上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。∴2nan=2+（n-1）·2=2n2．数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2【例8】求数列1，（3

6、+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数，∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为（2）、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）7数列解题技巧归纳总结解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）（3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写

7、的两个和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解∴Sn=3n·2n-1（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．例11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．解 设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．   ①(2)x=0时，Sn=1．(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．(5)裂项法：把通项

8、公式整理成