人教版高中数学选修2-2学案：2.2.3数学归纳法(一) .pdf

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1、2.2.3数学归纳法（一）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】知识回顾：1.证明方法：_________（1）直接证明；_________（2）间接证明：________.新知梳理：1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n时命题成立;0（2）归纳递推：假设n=k（k≥n，k∈N*）时命题成立，证明当

2、n=k+1时命题也成立.只0要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n开始的所有正整数n都成立.03.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n的正整数n+1，n+2，…，命题都成000立.对点练习：1111.若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，则f(1)为()236n－1＋A．11B．51111C．1＋＋＋＋2345D．非以上答案11112.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()nn＋1n＋2n211A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋23111B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2

3、时，f(2)＝＋＋23411C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋23111D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋2343.用数学归纳法证明:当n为整数时,135(2n1)n2.【合作探究】典例精析：例1.用数学归纳法证明n(n1)(2n1)122232n2,nN*6变式练习：用数学归纳法证明1427310n(3n1)n(n1)2,nN*例2.用数学归纳法证明:首项是a,公差是d的等差数列的通项公式是aa(n1)d,前n1n1n(n1)项和的公式是Snad.n12变

4、式练习：用数学归纳法证明:首项是a,公比是q的等差数列的通项公式是aaqn1,前n项和的公式1n1a(1qn)是S1.(q1)n1q规律总结：1.数学归纳法应用注意问题(1)数学归纳法证题时，第一个值n不一定为1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，0初始值n＝3.0(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．2.其中关键：从假设n=k成立，再证得n=k+1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法

5、证明：1an21aa2an1(a1)，在验证n1时，左端计算所得项为1aA.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3111f(n1)f(n)2.设f(n)(nN*)，那么等于（）n1n22n11A.2n1B.2n21111C.2n12n2D.2n12n2{a}Sn2a(n2)a1a,a,a3.已知数列n的前n项和nn，而1，通过计算234，猜想an.4.用数学归纳法证明:1111n133557(2n1)(2n1)2n1【课时作业】1.用数学归纳法证明(n1)(n2)

6、(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为A.2k+1B.2(2k+1)2k12k3C.D.k1k12.一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对11111113.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2＋＋…＋时，234nn＋2n＋42n若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题

7、为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立4.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k-2＋2k-1＝2k+1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k+1C．1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＋1＝2k+1-1D．1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝2k+1-15.用数学归纳法证明:当n为正整数时,12222n12n1.6.用数学归纳

8、法证明:1