人教B版2020年高中数学选修4-5练习：1.2基本不等式_含解析.doc

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1、1.2　基本不等式课时过关·能力提升1.设x,y∈(0,+∞),且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是(　　)A.40B.10C.4D.2解析:∵x,y∈(0,+∞),≤100.∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时等号成立.答案:D2.若a>b>1,PA.Rb>1,∴lga>lgb>0,∴Qa+lgb)R=la+lgb)=Q,∴R>Q>P.答案:B3.若x>0,则4xA.9B.C.13D.不存在解析:因为x>0,所以4

2、x2xx.答案:B4.已知不等式(x+y≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　　)A.2B.4C.6D.8解析:(x+y≥1+a+.∵(x+y≥9对任意正实数x,y恒成立,∴≥9.∴a≥4.答案:B5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是　　　. 解析:ab=a+b+3≥得t2≥2t+3,即t2-2t-3≥0.解得t≥3或t≤-1(不符合题意,舍去).≥3.即ab≥9,当且仅当a=b=3时等号成立.答案:[9,+∞)6.若正实数x,y,z满足x-2y+3z=0,解析:由x-2y+3z=0,得y当且仅当x

3、=y=3z时等号成立.答案:37.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,解析:圆x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2).因为直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,化简得a+b=1(a>0,b>0).所又因为ab≤≥4,当且仅当a=b.答案:48.已知a1,a2,…,an都是正数,且a1·a2·…·an=1,求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.证明因为a1是正数,所以2+a1

4、=1+1+a1≥同理2+aj=1+1+aj≥,n),将上述不等式两边相乘,得(2+a1)(2+a2)·…·(2+an)≥3n·因为a1·a2·…·an=1,所以(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.当且仅当a1=a2=…=an=1时,等号成立.★9.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3m,AD=2m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.解:(1

5、)设AN=x(x>2),则ND=x-2.由题意,∴S矩形AMPN·x>32.∴3x2-32x+64>0.∴(3x-8)(x-8)>0.∴28.∴AN的长的范围∪(8,+∞).(2)S矩形AMPN=3(x-2)当且仅当x=4时等号成立.故当AN的长度为4m时,矩形AMPN的面积最小,矩形AMPN的最小面积为24m2.10.求函数y解:解法一:函数的定义域为[a,b],y>0,所以y2=b-a+≤2(b-a),当且仅当x,等号成立.所以y有最大解法二:利用不等因≤所以y2≤2(b-a),即y≤当且仅当x-a=b-x,即x,等号成立

6、,所以ymax