2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第八章 第5讲 平行、垂直的综合问题 Word版含答案.pdf

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1、第5讲平行、垂直的综合问题空间中的证明与计算问题(师生共研)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；8(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥3的侧面积．【解】(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD

2、.2设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝x.2故四棱锥P-ABCD的体积11V＝AB·AD·PE＝x3.PABCD3318由题设得x3＝，故x＝2.33从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为1111PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin60°＝6＋23.2222(1)几何体的体积柱体的体积V＝S·h.底1锥体的体积V＝S·h.3底(2)几何体的表面积直棱柱的侧面积S＝C·l，其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，侧底最后求和．(3)计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体

3、积时，关键是确定几何体的高，若是不方便求，要注意进行体积的转化．(2020·重庆市学业质量调研)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠CAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ADC＝30°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AC＝2.(1)求证：AE∥平面PBC；3(2)若四面体PABC的体积为，求△PCD的面积．3解：(1)证明：如图，取CD的中点F，连接EF，AF，则EF∥PC，又易知∠BCD＝∠AFD＝120°，所以AF∥BC，又EF∩AF＝F，PC∩BC＝C，所以平面AEF∥平面PBC.又AE平面AEF，所以AE∥平面PBC.113(2)由已知

4、得，V＝·AB·BC·PA＝，可得PA＝2.四面体PABC323过点A作AQ⊥CD于点Q，连接PQ，在△ACD中，AC＝2，∠CAD＝90°，∠ADC＝30°，2×23所以CD＝4，AQ＝＝3，4则PQ＝22＋3＝7.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又AQ∩PA＝A，所以CD⊥平面PAQ，CD⊥PQ.1所以S＝×4×7＝27.△PCD2空间中的翻折问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，

5、连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．【解】(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因

6、此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.其步骤为：第一步—确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量↓第二步—在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面↓第三步—利用判定定理或性质定理进行证明(2020·宝鸡市模拟考试)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4

7、，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．解：(1)证明：在题图1中，1因为BE＝AB＝CD且BE∥CD，2所以四边形EBCD是平行四边形．如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，所以点O是BD的中点，又点M为棱PB的中点，所以OM∥PD，因为PD/平面MCE，OM平面MCE，所以PD∥平面MCE.(2)在题图1中，因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，因为四边形ABCD是等腰梯形，

8、所以AD＝BC，所以AD＝DE，因为∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EB