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《2020版高考数学大二轮培优文科通用版能力升级练：(十九) 圆锥曲线综合问题(2) Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、能力升级练(十九)圆锥曲线综合问题(2)1.(2019广西南宁市第三中学、柳州市高级中学联考)如图,椭圆C:=1(a>b>0)的顶点为A,A,B,B,左右焦点分别为F,F,
2、AB
3、=.12121211▱▱(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试探究在x轴上是否存在定点Q,使得为2定值?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)由
4、AB
5、=,得a2+b2=3.①11由,得·2a·2b=·2c·2b,即a=c,②▱▱又a2-b2=c2,③由①②③,得a2=2,b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)①当直线l的斜率不为0或不存在时,设A(
6、x,y),B(x,y),Q(x,0),直线l的方程为x=my+1,11220由得(m2+2)y2+2my-1=0,-∴-∴=(x-x)(x-x)+yy=(my+1)·(my+1)-10201212x(my+my+2)++yy=(m2+1)y·y+m(y+y)(1-x)+-2x+1=(m2+1)·-+m·-(1-x)+-0121212120002x+10-=--2x+1,0--由,得x=,0故此时点Q,0,=-.-②当直线l的斜率为0时,=-.综上所述,在x轴上存在定点Q,0,使得为定值.2.如图,A(-m,m),B(n,n)两点分别在射线OS,OT上移动,且=-,O为坐标原点,动点P
7、满足.(1)求点P的轨迹C的方程.(2)设Q,过Q作(1)中曲线C的两条切线,切点分别为M,N,①求证:直线MN过定点;②若=-7,求x的值.0解(1)由已知得=-3mn+mn=-,即mn=.设点P坐标为(x,y)(y>0),由,得(x,y)=(-m,m)+(n,n)=((n-m),m+n).-∴消去m,n,可得y2-=1(y>0),∴轨迹C的方程为y2-=1(y>0).(2)由(1)知,y=,即y'=.设M(x,y),N(x,y),则k=,k=.1122QMQN∴l:y=(x-x)+y,QM11即l:xx-3yy+3=0.QM11∵Q在直线QM上,∴xx-y+3=0,①011同理可
8、得xx-y+3=0.②022由①②可知,l:xx-y+3=0,MN0∴直线MN过定点(0,2).由以上可知,设直线MN的方程为y=kx+2,易知k=,且
9、k
10、<,将直线MN的方程代入曲线C的方程得(3k2-1)x2+12kx+9=0.∴x+x=-,xx=.12-12-又=xx+yy1212=xx+(kx+2)(kx+2)1212-=(k2+1)xx+2k(x+x)+4==-7,1212-即k=±,∴x=±.03.(2019辽宁沈阳高三教学质量监测(三))已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,M(-2,y)是抛物线C0上一点,且
11、MF
12、=2.(1)求抛物线C的方程;(2)过点
13、F的直线与抛物线C相交于A,B两点,分别过A,B两点作抛物线C的切线l,l,两条切线相交12于点P,点P关于直线AB的对称点Q,判断四边形PAQB是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.解(1)根据题意知,4=2py,①0因为
14、MF
15、=2,所以y+=2.②0联立①②解得y=1,p=2.0所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)四边形PAQB存在外接圆.设直线AB方程为y=kx+1,代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0,设点A(x,y),B(x,y),则Δ=16k2+16>0,1122且x+x=4k,xx=-4,1212所以
16、AB
17、=
18、x-x
19、=4(
20、k2+1),12因为C:x2=4y,即y=,所以y'=.因此,切线l的斜率为k=,切线l的斜率为k=,1122由于kk==-1,所以PA⊥PB,即△PAB是直角三角形,12所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是圆的直径,所以点Q一定在△PAB的外接圆上,即四边形PAQB存在外接圆.又因为
21、AB
22、=4(k2+1),所以当k=0时,线段AB最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为4π.4.已知椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,-1).(1)求椭圆G的方程;(2)若C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点,直线AC,BD与x轴分别交于点M,N.判
23、断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由.=1(a>1).解(1)由已知可设椭圆G的方程为由e=,可得e2=-,解得a2=2,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)方法一:设C(x,y),且x≠0,则D(-x,y).00000-因为A(0,1),B(0,-1),所以直线AC的方程为y=x+1.-令y=0,得x=,所以M-.M---同理,直线BD的方程为y=x-1,求得N.----,--所以+1,-由C(x,y)在椭圆G:+y2=1上,00所以=2(1-),
