2020版高考数学二轮复习专题限时集训8空间向量与立体几何理.pdf

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1、专题限时集训(八)空间向量与立体几何[专题通关练](建议用时：20分钟)1．(2019·泰安一模)在直三棱柱ABCABC，∠BCA＝90°，M，N分别是AB，AC的中1111111点，BC＝AC＝CC＝1，则AN与BM所成角的余弦值为()112A.B.102230C.D.510D[建立如图所示的空间直角坐标系：111→则A(1,0,0)，B(0,1,0)，N，0，1，M，，1，∴AN2221→11＝－，0，1，BM＝，－，1，222→→cos〈AN，BM〉→

2、→AN·BM＝→→

3、AN

4、

5、BM

6、113－×＋122430＝＝＝.故选D.]1115610＋0＋1×＋＋1×444222．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝17，则该二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°→→→→C[由已知可得CA·AB＝0，AB·BD＝0，如图，→→→→CD＝CA＋AB＋BD，→→→→→→→→→∴

7、CD

8、2＝(CA＋AB＋BD)2＝

9、CA

10、2＋

11、AB

12、2＋

13、BD

14、2＋2CA

15、·AB＋→→→→2AB·BD＋2CA·BD→→＝32＋22＋42＋2×3×4cos〈CA，BD〉＝(17)2，→→1→→∴cos〈CA，BD〉＝－，即〈CA，BD〉＝120°，2∴所求二面角的大小为60°，故选C.]3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCDABCD中，AB＝BC＝2，AC与平面BBCC所成的角1111111为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83C[在长方体ABCDABCD中，AB⊥平面BCCB，连接BC，AC，则11111111∠ACB为直线AC与平面BBCC所成

16、的角，∠ACB＝30°.又AB＝BC＝2，11111AB所以在Rt△ABC中，BC＝＝23，11tan∠ACB1在Rt△BCC中，CC＝232－22＝22，所以该长方体体积V11＝BC×CC×AB＝82.]14.(2019·汕头模拟)如图，在正方体ABCDABCD中，M，N分别是1111BC，CD的中点，则下列判断错误的是()11A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACCA11C．MN∥平面ABCDD．MN∥AB11D[在正方体ABCDABCD中，M，N分别是BC，CD111111的中点，以D为原点，DA为x轴

17、，DC为y轴，DD为z轴，1建立空间直角坐标系，设正方体ABCDABCD的棱长为2，1111→则M(1,2,1)，N(0,1,1)，C(0,2,0)，C(0,2,2)，MN＝(－1，1→→→－1,0)，CC＝(0,0,2)，MN·CC＝0，∴MN⊥CC，故A正111→确；A(2,0,0)，AC＝(－2,2,0)，→→MN·AC＝0，∴MN⊥AC，∵AC∩CC＝C，∴MN⊥平面ACCA，故B正确；111∵平面ABCD的法向量n＝(0,0,1)，→MN·n＝0，又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故C正

18、确；→A(0,2,2)，B(2,2,2)，∴AB＝(2,0,0)，1111∴MN与AB不平行，故D错误．故选D.]115.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平

19、面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连223333接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝＋＋222222＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.]6.[一题多解]如图，AB是⊙O的直径，PA垂

20、直于⊙O所在平面，点C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝3，则二面角ABCP的大小为________．π[法一：(几何法)由题意可知AC⊥BC，3又PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角ABCP的平面角．在Rt△BCA中，AB＝2，BC＝3，∴AC＝1.在Rt△PCA中，PA＝3，PA∴tan∠PCA＝＝3，ACπ∴∠PCA＝.3法二：(坐