2019版数学人教B版选修1-1训练：3.3.3 导数的实际应用 Word版含解析.pdf

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1、3.3.3导数的实际应用课时过关·能力提升1.把长为80cm的铁丝分为两段,分别围成正方形,要使两个正方形面积之和最小,则两段铁丝的长分别为()A.20cm和60cmB.30cm和50cmC.35cm和45cmD.40cm和40cm答案:D2.用边长为36cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊接成一个铁盒.要使所做的铁盒容积最大,在四个角截去的正方形的边长为()A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm答案:A3.容积为108L的底面为正方形的长方体无盖水箱

2、,要使用料最省,它的高为()A.2dmB.3dmC.4dmD.6dm解析:设水箱的底面边长为adm,高为hdm,则V=a2h=108,即h用料最省,即表面积最小.S=S+S=a2+4ah=a2+4a表底侧S'=2aS'=2aa=6,此时h=3(dm).表表答案:B4.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为()解析:设底面边长为x,则表面积S(xx>0),S'(xx3-4V),S'(x)=0,唯一极值点x答案:C5.已知矩形的两个顶点A,D位于x轴上,另两个顶点B,C位于抛物线y=4-x2在x轴上

3、方的曲线上,则这个矩形的面积最大时的边长分别为.解析:设矩形的边长AD=2a,则AB=4-a2,∴矩形面积为S=2a(4-a2)=8a-2a3(00;当

4、r)=πrhS=6πr2,∴h=2r,又rh=即当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h为答案:B7.某商品每件成本为9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30,且x∈N)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品利润表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?分析:由每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30,且x∈N)的平方成正比,可多卖出商品件数为k

5、x2.又由商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.可k=6.从到商品利润与x之间的函数关系,进用导数求利润的最大值.解:(1)设商品降价x元,则多卖出的商品数为kx2,若记商品在一个星期的获利为f(x),则依题意,有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)·(432+kx2).又由已知条件,24=k·22,于是有k=6,所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30],且x∈N.(2)根据(1),有f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).x[0,2)

6、2(2,12)12(12,30]f'(x)-0+0-极小值8极大值11f(x)↘↗↘664664故x=12时,f(x)达到极大值,因为f(0)=9072,f(12)=11664,f(30)=-52488,所以定价为30-12=18元时能使一个星期的商品销售利润最大.8.“过低碳生活,创造绿色家园”.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x

7、0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)求隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值.分析:由于不建隔热层时,每年能源消耗费用为8万元,可C(0即k=40.再由题意到f(x)=6x+2x0≤x≤10),进利用导数求其最小值.解:(1)由题意知,C(0k=40.故C(x所以f(x)=6x+2x0≤x≤10).(2)f'(x)=f'(x)=0,即x=5,x=舍去).当0

8、10时,f'(x)>0.故当x=5时,有f(x)=f(5)=6×.最小值因此,当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小,最小值为70万元.